廣東高考文科數(shù)學(xué)試題及答案詳細(xì)解析選擇、填空、解答全解全析(參考版)
2025-01-10 23:03本頁(yè)面
【正文】 解： （ 1）如圖所示，連接 OM ，則 PM OM? ∵ MPO AOP? ? ? ， ∴動(dòng)點(diǎn) M 滿足 MP l? 或 M 在 x 的負(fù)半軸上，設(shè) ( , )Mxy ① 當(dāng) MP l? 時(shí)， 2MP x??， 22OM x y?? 222x x y? ? ? ，化簡(jiǎn)得 2 44yx??( 1)x?? 第 13 頁(yè) 共 14 頁(yè) x y O 2x?? T N l H N H ? H x y O T A 1l 1l 1l ② 當(dāng) M 在 x 的負(fù)半軸上時(shí)， 0y? ( 1)x?? 綜上所述，點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程為 2 44yx??( 1)x?? 或 0y? ( 1)x?? （ 2）由（ 1）知 M 的軌跡是頂點(diǎn)為 ( 1,0)? ，焦點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線和 x 的負(fù)半軸 0y? ( 1)x?? ① 若 H 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過 H 作 HN l? 于 N 由于 l 是拋物線 的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物線的定義有 HO HN? 則 H O H T H N H T? ? ? 當(dāng) ,NHT 三點(diǎn)共線時(shí)， HN HT? 有最小值 3TN? 求得此時(shí) H 的坐標(biāo)為 3( , 1)4?? ② 若 H 是 x 的負(fù)半軸 0y? ( 1)x?? 上的動(dòng)點(diǎn) 顯然有 3HO HT?? 綜上所述， HO HT? 的最小值為 3，此時(shí)點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 3( , 1)4?? （ 3）如圖，設(shè)拋物線頂點(diǎn) ( 1,0)A? ，則直線 AT 的斜率 12ATk ?? ∵點(diǎn) (1, 1)T ? 在拋物線內(nèi)部， ∴過點(diǎn) T 且不平行于 ,xy軸的直線 1l 必與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) 則直線 1l 與軌跡 E 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分以下四種情況討論： ① 當(dāng) 12k?? 時(shí)，直線 1l 與軌跡 E 有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) ② 當(dāng) 1 02 k? ? ? 時(shí)，直線 1l 與軌跡 E 有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn) ③ 當(dāng) 0k? 時(shí)，直線 1l 與軌跡 E 有且只有一個(gè)交點(diǎn) ④ 當(dāng) 0k? 時(shí)，直線 1l 與軌跡 E 有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 綜上所述，直線 1l 的斜率 k 的取值范圍是 1( , ] (0, )2?? ? ?? 第 14 頁(yè) 共 14 頁(yè) 。并注意公式的運(yùn)用： n 是正整數(shù)，則 1 2 2 1( ) ( )n n n n n na b a b a a b ab b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． （ 1） 解： ∵ 11 1nn nnbaa an??? ?? ∴ 11 1nnna ban a n??? ?? ∴ 11 1 1nna b a b??? ? ? 第 11 頁(yè) 共 14 頁(yè) ① 當(dāng) 1b? 時(shí)， 11 1nnnnaa????，則 {}nna是以 1 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列 ∴ 1 ( 1) 1nn nna ? ? ? ? ?，即 1na? ② 當(dāng) 0b? 且 1b? 時(shí)， 11 1 1 1()11nna b b a b??? ? ??? 當(dāng) 1n? 時(shí)，111 (1 )nna b b b???? ∴1{}1nnab? ?是以1(1 )bb?為首項(xiàng)， 1b 為公比的等比數(shù)列 ∴1 1 1()11 nnna b b b? ? ??? ∴1 1 1(1 ) 1 (1 )nnnnnba b b b b b?? ? ?? ? ? ∴ (1 )1nn nn b ba b?? ? 綜上所述(1 ) , 0 1111nnnn b b bba bb? ? ???? ????? 且， （ 2） 證明：① 當(dāng) 1b? 時(shí)， 12 1 2nnab?? ? ?； ② 當(dāng) 0b? 且 1b? 時(shí)， 211 (1 ) (1 )n n nb b b b b??? ? ? ? ? ? ? 要證 121nnab???，只需證 12 (1 ) 11n nnn b b bb ?? ??? ， 即證 2 (1 ) 11 nnnb bbb? ??? 即證 21211 n n nn bb b b b?? ??? ? ? ? 即證 211( ) (1 ) 2nnnb b b b nb ??? ? ? ? ? ? 即 證 21 121 1 1 1( ) ( ) 2nn nnb b b b nb b b b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 12 頁(yè) 共 14 頁(yè) x y O 2x?? A P l M M ∵ 21 121 1 1 1( ) ( )nn nnb b b b b b b b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 21211 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnnnb b b bb b b b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 21211 1 1 12 2 2 2 2nnnnb b b b nb b b b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，∴原不等式成立 ∴ 對(duì)于一切正整數(shù) n ， 2na ≤ 1 1nb?? ． 21．（ 本小題滿分 14 分 ） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 上， 直線 l ： 2x?? 交 x 軸于點(diǎn) A ．設(shè) P 是 l 上一點(diǎn)， M 是線段 OP 的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足 MPO AOP? ? ? ． （ 1） 當(dāng) 點(diǎn) P 在 l 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡 E 的方程 ； （ 2） 已知 (1, 1)T ? ，設(shè) H 是 E 上動(dòng)點(diǎn)，求 HO HT? 的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn) H 的坐標(biāo)； （ 3） 過點(diǎn) (1, 1)T ? 且不平行于 y 軸的直線 1l 與軌跡 E 有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線 1l 的斜率 k 的取值范圍． 【 思路分析】 （ 1） 由于 M 是線段 OP 的垂直平分線上一點(diǎn)，所以應(yīng)考慮點(diǎn) M 的兩種情況（如圖 1,2）：當(dāng)點(diǎn) ,MA在直線 OP 的異側(cè)時(shí)，由 PM OM? 得 2 44yx??； 當(dāng)點(diǎn) ,MA 在直線(1,0)? ，焦OP 的同側(cè)時(shí)， M 在 x 的負(fù)半軸上； （ 2） 由（
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