【正文】 將這一點(diǎn)體現(xiàn)在分母上就需要除以 n2, 而不除以 n。 Estimating the Error Variance 誤差方差的估計(jì) ? 我們不知道誤差方差 ?2 是多少，因?yàn)槲覀儾荒苡^察到誤差 ui ? 我們觀測到的是殘差 Var(wage|educ)隨 educ增加 Theorem (Sampling Variances of the OLS Estimators) 定理 ( OLS 估計(jì)量的抽樣方差 ) ? 在假定 到 下 ， 我們有 (): ? and ? ?????? niix xxsV a r122221)(? ??b220 2?()()iixV a rx x n?b ????Variance of OLS Summary OLS估計(jì)量樣本方差的總結(jié) ? 誤差方差 ?2 越大，斜率估計(jì)量的方差也越大 ? xi 的變動越大，斜率估計(jì)量的方差越小 .因此我們應(yīng)該選擇 盡可能的分散開的 xi ? 大的樣本容量能夠減小估計(jì)量的方差。 ? 在工資方程中： wage= b0 + b1educ+ u ? 如果我們假設(shè)工資一式滿足同方差， Var(u|educ)=Var(wage|educ)= ?2 那么就意味著不管 educ值為何水平 ， 工資的分布相對于教育水平而言都是相同的 。 Sampling Variance of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的抽樣方差 ? 我們知道估計(jì)量的隨機(jī)抽樣分布以真值為中心，現(xiàn)在想知道的是這個分布散開的程度 ? 了解這一點(diǎn) (分布的分散程度 )，將對我們?nèi)绾文軌蛟谒械墓烙?jì)量中，是否 有效 具有一定的指導(dǎo)意義。可信嗎？ Performance and the School Lunch Program 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目 ? 產(chǎn)生上述結(jié)果的一個可能是 u 和 x是相關(guān)的。 ? Proof: 證明 （ 最后 ） 無偏性 ， 即估計(jì)量 0 ? b 、 1 ? b 的均值（期望）等于總體回歸 參數(shù)真值 b 0 與 b 1 Unbiasedness Summary 無偏性總結(jié) ? b1 和 b0 的 OLS估計(jì)量是無偏的 ? 無偏性的證明依賴于我們的四個假定 如果任何假定不成立， OLS未必是無偏的 ? 記住無偏性是對估計(jì)量的描述 對于一個給定的樣本我們可能靠近也可能遠(yuǎn)離真實(shí)的參數(shù)值 例 ? 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和學(xué)校的午餐項(xiàng)目：該例研究了是否參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目是否能夠提高學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中的成績 ? we estimated that Predicted math10=, Math10來表示 10年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績 Lnchprg表示可以參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目的學(xué)生的比例。 Assumption (Linear in Parameters): 假定 （關(guān)于參數(shù)是線性的） ? 在總體模型中，因變量 y 和自變量 x 和誤差 u 的關(guān)系可寫作 y = b0 + b1x + u , 其中 b0 和 b1 分別是總體的截距參數(shù)和斜率參數(shù) Assumption (Random Sampling): 假定 (隨機(jī)抽樣 ): ? 假定我們從總體模型隨機(jī)抽取容量為 n的樣本 , {(xi, yi): i=1, 2, …, n}, 那么可以寫出樣本模型為 yi = b0 + b1xi + ui Assumptions and 假定 和 ? 假定 ：解釋變量的樣本有變異 在樣本中 ， 自變量 x 并不等于一個不變常數(shù) 。 當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本 或 漸近性質(zhì) ： Expected Values and Variances of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的期望值和方差 ? 從總體中抽取的不同的隨機(jī)樣本可得到不同的OLS估計(jì)量，我們將研究這些 OLS估計(jì)量的分布。 這三個準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的 小樣本性質(zhì)。 一個用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性： （ 1）線性性 ，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)； （ 2）無偏性 ，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值； （ 3）有效性 ，即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。 但要估計(jì)總體的某一指標(biāo)，并非只能用一個樣本指標(biāo)，而可能有多個指標(biāo)可供選擇，即對同一總體參數(shù)，可能會有不同的估計(jì)量。 因此 統(tǒng)計(jì)上常稱容量在 30（含 30）以上的樣本為 大樣本 （ largesamplesize)。 即 ?x～ N(μ,σ2/n) （ 2） 當(dāng)總體分布未知時，需要用到 中心極限定理（ Central limit Theorem） 對容量為 n 的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值的分布隨樣本容量的增大而趨于 正態(tài)分布 。分兩種況： 1)總體分布已知且為正態(tài)分布 ； 2)總體分布未知； （ 1） 當(dāng)總體分布已知且為正態(tài)分布或接近正態(tài)分布時， 則無論樣本容量大小如何，樣本均值都為正態(tài)分布 。 所有樣本的結(jié)果為 3,3 3,2 3,1 3 2,4 2,3 2,2 2,1 2 4,4 4,3 4,2 4,1 4 1,4 4 1,3 3 2 1 1,2 1,1 1 第二個觀察值 第一個 觀察值 所有可能的 n = 2 的樣本（共 16個） 3,4 樣本均值的抽樣分布 ? 計(jì)算出各樣本的均值 ， 如下表 。 4 個個體分別為 x1=1， x2=2， x3=3， x4=4 。 500個 的 頻數(shù)分布 與 相對頻數(shù)分布 ， x圖 500個 的相對頻數(shù)分布 相 對 頻 數(shù) x 這里， 的相對頻數(shù)分布，就稱為 的 抽樣分布 。 同樣地， 如果多次抽樣，則可得到多個不同的結(jié)果。 ? 如果樣本已經(jīng)得到 ， 把數(shù)據(jù)帶入之后 ， 估計(jì)量就有了一個數(shù)值 ， 稱為該估計(jì)量的一個 實(shí)現(xiàn) (realization)， 也稱為一個 估計(jì)值(estimate)。 假如有 1500人參加了公司培訓(xùn) ， 得到了如下的結(jié)果： 總體均值 （ population mean）： ? =51800 總體標(biāo)準(zhǔn)差 （ Population standard deviation）： ? =400 參加公司培訓(xùn)計(jì)劃的 比例 為： P =1500/2500= 參數(shù)是總體的數(shù)值特征 A parameter is a numerical characteristic of a population 一、點(diǎn)估計(jì) 假如隨機(jī)抽取了一個容量為 30的樣本： ? Annual Salary Management Training Program? ? Yes ? Yes ? Yes ? … … 根據(jù)該樣本求得的 年薪樣本 平均數(shù) 、 標(biāo)準(zhǔn)差 及 參加過培訓(xùn)計(jì)劃人數(shù)的 比例 分別為： ? ??? 1 8 1 430/1 5 5 4 4 2 0/ nxx i)1/()( 2 ????? ? nxxs i??p（一）點(diǎn)估計(jì) 上述估計(jì)總體參數(shù)的過程被稱為 點(diǎn)估計(jì) （ point estimation）； 由于 點(diǎn)估計(jì)量 是由樣本測算的，因此也稱為 樣本統(tǒng)計(jì)量。其中一項(xiàng)內(nèi)容是考察這些中層干部的 平均年薪 及 參加過公司培訓(xùn)計(jì)劃的比例 。 對所考查的總體不可能進(jìn)行全部測度； 從 理論上 說可以對所考查的總體進(jìn)行全部測度，但 實(shí)踐上 由于人力、財(cái)力、時間等方面的原因，無法（不劃算）進(jìn)行全部測度。 120個 樣本 測試 平均里程： 36,500公里 推斷 新輪胎 平均壽命 : 36,500公里 400個 樣本 支持人數(shù)： 160 推斷 支持該候選人的選民 占全部選民的比例： 160/400=40% 例 2： 某黨派想支持某一候選人參選美國某州議員，為了決定是否支持該候選人，該黨派領(lǐng)導(dǎo)需要估計(jì) 支持該候選人的民眾占全部登記投票人總數(shù)的比例 。 ? 自然對數(shù)的另一個重要用途是用于獲得彈性為常數(shù)的模型 ? 在 CEO的薪水和企業(yè)銷售額的例子中 ， 常數(shù)彈性模型是： 01l og( ) l og( )sal ary sal e s ubb? ? ?2 0 9 ,n ??l o g ( ) 4 .8 2 2 0 .2 5 7 l o g ( )sa lar y sa le s??2 ?β1是 y對 x的彈性。能夠給出不變的百分比效果的模型是 ? If , we have 01l o g ( )wag e e d u c ubb? ? ? ?1% ( 100 ) .w age e ducb? ? ? ?0u?? age e du? ? ?Example ? A log Wage Equation 將對數(shù)工資方程 ? Compared to 和原方程相比 ?l o g ( ) 0 .5 8 4 0 .0 8 3wa g e e d u c??526n ? 2 ?? age e duc? ? ?2 ?每多接受一年的教育，工資會有 ％的提高。 在簡單回歸中加入非線性 ? 線性關(guān)系并不適合所有的經(jīng)濟(jì)學(xué)運(yùn)用 ? 然而，通過對因變量和自變量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亩x , 我們可以在簡單回歸分析中非常容易地處理許多 y和 x之間的非線性關(guān)系 . The Natural Logarithm 自然對數(shù) l og( )yx?1 2 1 21 2 1 2l og( ) l og( ) l og( )l og( / ) l og( ) l og( )l og( ) l og( )cx x x xx x x xx c x?????l og ( 1 )xx?? 0for x ?1 0 1 0 0 0l og( ) l og( ) ( ) / /x x x x x x x? ? ? ? ?01 0 0 * l o g % 1 0 0 ( x )xxx x???? ? ? ????＝ 的 百 分 比 變 化Loglog 形式，彈性 011111l og l ogl og l og100 l og 100 l og%%xy/ l og/ l ogy x uyxyxyxy x y y yx y x x xbbbbbb? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?的 百 分 比 變 化 引 起 的 的 百 分 比 的 改 變經(jīng) 濟(jì) ： 彈 性 ＝Loglevel形式，半彈性 011111l o gl o g1 0 0 l o g 1 0 0% ( 1 0 0 )xy%100y x uyxyxyxyxbbbbbb? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???的 改 變 一 個 單 位 引 起 的 的 百 分 比 的 改 變經(jīng) 濟(jì) ： 半 彈 性 ＝ ＝Levellog 形式 011111l ogl og100 100 l og %%100xyy x uyxy x xyxbbb