【正文】 數(shù)真值 b 0 與 b 1 Unbiasedness Summary 無(wú)偏性總結(jié) ? b1 和 b0 的 OLS估計(jì)量是無(wú)偏的 ? 無(wú)偏性的證明依賴于我們的四個(gè)假定 如果任何假定不成立， OLS未必是無(wú)偏的 ? 記住無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的描述 對(duì)于一個(gè)給定的樣本我們可能靠近也可能遠(yuǎn)離真實(shí)的參數(shù)值 例 ? 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和學(xué)校的午餐項(xiàng)目：該例研究了是否參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目是否能夠提高學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中的成績(jī) ? we estimated that Predicted math10=, Math10來(lái)表示 10年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī) Lnchprg表示可以參加學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目的學(xué)生的比例。 思考：估計(jì)所得方程說(shuō)明參加免費(fèi)午餐的學(xué)生的比例越多，他們的成績(jī)?cè)讲?。可信嗎? Performance and the School Lunch Program 學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和學(xué)校的免費(fèi)午餐項(xiàng)目 ? 產(chǎn)生上述結(jié)果的一個(gè)可能是 u 和 x是相關(guān)的。比如， u包括了貧困率，它影響學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，又和是否有資格參加免費(fèi)午餐項(xiàng)目高度相關(guān) 。 Sampling Variance of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的抽樣方差 ? 我們知道估計(jì)量的隨機(jī)抽樣分布以真值為中心，現(xiàn)在想知道的是這個(gè)分布散開(kāi)的程度 ? 了解這一點(diǎn) (分布的分散程度 )，將對(duì)我們?nèi)绾文軌蛟谒械墓烙?jì)量中，是否 有效 具有一定的指導(dǎo)意義。 Sampling Variance of the OLS Estimators OLS估計(jì)量的抽樣方差 在一個(gè)附加假定下計(jì)算這個(gè)方差會(huì)容易的多，因此有 ? Assume (Homoskedasticity): 假定 (同方差性 ): Var(u|x) = ?2 . . x1 x2 Homoskedastic Case 同方差的情形 E(y|x) = b0 + b1x y f(y|x) . x x1 x2 f(y|x) Heteroskedastic Case 異方差的情形 x3 . . E(y|x) = b0 + b1x Sampling Variance of OLS (cont) OLS的抽樣方差 (繼續(xù) ) ? ?2 也是無(wú)條件方差，被稱作 誤差方差 （ error variance） Var(u|x) = E(u2|x)[E(u|x)]2 E(u|x) = 0, so ?2 = E(u2|x) = E(u2) = Var(u) ? 誤差方差的平方根 ?被稱作是 標(biāo)準(zhǔn)誤差 ? E(y|x)=b0 + b1x and Var(y|x) = ?2 例 工資方程中的異方差性 當(dāng) Var(y|x)值和 x 相關(guān)時(shí) ， 我們稱誤差項(xiàng)存在 異方差 。 ? 在工資方程中： wage= b0 + b1educ+ u ? 如果我們假設(shè)工資一式滿足同方差， Var(u|educ)=Var(wage|educ)= ?2 那么就意味著不管 educ值為何水平 ， 工資的分布相對(duì)于教育水平而言都是相同的 。 如果接受高等教育的人面臨的機(jī)會(huì)更多 ， 收入的差異可能更大 ， 在這一情形中 ， 上述假定未必成立 。 Var(wage|educ)隨 educ增加 Theorem (Sampling Variances of the OLS Estimators) 定理 ( OLS 估計(jì)量的抽樣方差 ) ? 在假定 到 下 ， 我們有 (): ? and ? ?????? niix xxsV a r122221)(? ??b220 2?()()iixV a rx x n?b ????Variance of OLS Summary OLS估計(jì)量樣本方差的總結(jié) ? 誤差方差 ?2 越大，斜率估計(jì)量的方差也越大 ? xi 的變動(dòng)越大，斜率估計(jì)量的方差越小 .因此我們應(yīng)該選擇 盡可能的分散開(kāi)的 xi ? 大的樣本容量能夠減小估計(jì)量的方差。 注意：在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中增大 xi的變動(dòng)有時(shí)是可能的 ，但在社會(huì)科學(xué)中我們很少可以人為地增加 xi的變動(dòng) 。 Estimating the Error Variance 誤差方差的估計(jì) ? 我們不知道誤差方差 ?2 是多少，因?yàn)槲覀儾荒苡^察到誤差 ui ? 我們觀測(cè)到的是殘差 i ? 我們可以用殘差構(gòu)成誤差方差的估計(jì) Estimating the Error Variance 估計(jì)誤差方差 ? 首先，我們注意到 ?2=E(u2), 所以 ?2的無(wú)偏估 計(jì)量是 ? ui 是不可觀測(cè)的，但我們找到一個(gè) ui的無(wú)偏 估計(jì)量 ? ?ni iun 1 2)/1(? ? ? ?221? ? /22 iu S S R nn? ? ? ?? ?? 為什么除以 n2, 而不除以 n呢？這是因?yàn)樵谧?OLS估計(jì)時(shí)，我們使用了兩個(gè)限制條件，這兩個(gè)限制條件消耗了兩個(gè)殘差的自由度，換句話說(shuō)，如果有 n2個(gè)殘差是隨機(jī)的，那么最后兩個(gè)殘差的值必定是確定的值，它們不能被視為隨機(jī)變量因而對(duì)方差不再有貢獻(xiàn)。將這一點(diǎn)體現(xiàn)在分母上就需要除以 n2, 而不除以 n。 定理 ?2的無(wú)偏估計(jì) ? 在假定 ，我們有 22?()E ?? ?Error Variance Estimate (cont) 誤差方差估計(jì)量 (繼續(xù) ) ? ? ? ?? ?2112 21? ???? ?se /ixx????bb????? ?回 歸 的 標(biāo) 準(zhǔn) 誤如 果 我 們 用 替 換 ， 那 么 我 們 可 得 到的 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 差 ，Summary 總結(jié) ? Unbiasedness of OLS (cont) OLS的無(wú)偏性 ? Sampling Variance of OLS (cont) OLS的抽樣方差 ? The definitions of standard deviation and standard error 標(biāo)準(zhǔn)方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義 ? Estimating the Error Variance 估計(jì)誤差方差 作業(yè) OLS的無(wú)偏性（證明） ? 為了思考無(wú)偏性，我們需要用總體的參數(shù)重新寫(xiě)出估計(jì)量 ? 把公式簡(jiǎn)單地改寫(xiě)為 ? ?? ???????2221 w h e r e,?xxssyxxixxiibOLS的無(wú)偏性 (繼續(xù)） ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?010101i i i i ii i i i ii i i i ix x y x x x ux x x x x x x ux x x x x x x ubbbbbb? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?22111 21 1 120, a nd t hus?()?()i i i ix i iiixiixx x x x x x xs x x ux x usx x E uEsbbbb b b? ? ? ? ???????? ? ?? ? ????因 此 ， 分 子 可 被 重 寫(xiě) 作OLS的無(wú)偏性 0110011011010)(])?[()?()?(???bbbbbbbbbbbbb???????????????uExEEuxxuxxy故而由于Theorem (Sampling Variances of the OLS Estimators) 定理 ( OLS 估計(jì)量的抽樣方差 ) ? 在假定 到 下 ， 我們有 (): ? and ? ?????? niix xxsV a r122221)(? ??b220 2?()()iixV a rx x n?b ????證明： ? ?? ?? ? ? ?21122222222 2 2 222222222l e t ? 111111iiiixi i i ixxiixxxxxd x xVar Var d usVar d u d Var ussddsssssbb??????????? ? ?????????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????????????0 0 1 11112122222222222? ?( ) ( ( ) )?( ( ) ) ( )?( ) ( )?( ) ( )()()()ixiiiVar Var x uVar x Var uVar x Var ux Var Var unx x xxs n n x xxx x nb b b bbbbb????? ? ? ?? ? ?????????? ? ? ?????????????證明： 證明：定理 ?2的無(wú)偏估計(jì) 0 1 0 1 0 10 0 1 10 0 1 1112 2 2 21111? ? ? ?? ()? ?( ) ( ) 1? ??0 ( ) ( ) ( 2)??( 1 ) ( 2) : ( ) ( ) ( )?? ( ) ( ) ( )?2( ) ( ) ( )i i i i i iiii i ii i iiiu y x x u xuxu u xu u u x xu u u x xu u x xb b b b b bb b b bb b b bbbbbbb? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??（ ）兩 邊 求 取 平 均 值 ：? ?22 2 2 2 22 2 2 21 1 1 122 2 21211 1 1 1112[ ( ) ] [ ] ( 1 )? ?[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]?( ) ( ) ( )()? ?[ 2( ) ( ) ( ) ] [ 2( ) ( ) ]?()iiiiii niii i i i iiixiiE u u E u nu n n nnE x x x x Ex x Var x xxxE u u x x E u x xx x usu x x???b b b b?b?b b b bbb?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????????????????2112 2 21 1 1 12 2 2 2?( ) ( )? ?[ 2( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] 2? ?( ) ( 2) , ( )ii i iixxE u x x x x EE u n Ebbb b b b ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????＝ 2即