【正文】 bbb? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?（ ）（ ）的 百 分 比 變 化 引 起 的 的 單 位 改 變變量的原始形式和其自然對(duì)數(shù)的不同組合 Mode l Depende nt var ia ble Inde pende nt var ia ble Int er pre ta ti on of 1b Leve l le vel y x 1yx b? ? ? Leve l log y l o g ( )x 1( / 1 0 0 ) %yx b? ? ? Log le vel l o g ( )y x 1% ( 1 0 0 )yx b? ? ? Log log l o g ( )y l o g ( )x 1%% yx b? ? ? 在工資 教育的例子中， wage= b0 + b1educ+ u 估計(jì)得到： ? 即每增加一年的教育，工資的增長(zhǎng)都是相同的，即。 9631 91 1850 1salary roe??Units of Measurement 測(cè)量單位 ? 如果定義 roedec = roe/100，那么新的回歸線變?yōu)椋? 一般而言，如果自變量 除以或乘上 某個(gè)非零常數(shù) c，那么 OLS斜率將 乘以或除以 c，而截距則不改變。意 味 著 薪 水 變 異 中 還 有 ％ 懸 而 未 決 。 GoodnessofFit 擬合優(yōu)度 注意： ? 在社會(huì)科學(xué)中，特別是在截面數(shù)據(jù)分析中 , 回歸方程得到低的 R2并不罕見(jiàn)。 SST, SSR and SSE ? y 的總變動(dòng)可以表示為已解釋的變動(dòng) SSE和 未解釋的變動(dòng) SSR之和，即 ? SST=SSE+SSR 證明 SST = SSE + SSR ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?222220 1 0 1? ?? ?? ? ? ?2? ? S S R 2 S S E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?( ) 0i i i iiii i i iiii i i i i i ii i i i iy y y y y yu y yu u y y y yu y yu y y u y y u u yu x u u xb b b b? ? ? ? ?????? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ??? ? ? ?? ? ?＝GoodnessofFit 擬合優(yōu)度 ? 我們?nèi)绾魏饬繕颖净貧w線是否很好地?cái)M合了樣本數(shù)據(jù)呢 ? 2 1S S E S S RRS S T S S T? ? ?稱 R2 為 （樣本） 判定系數(shù) （ coefficient of determination)。將總平方和除以 n1,我們得到 y的樣本方差。 – If roe=30, what is the estimated salary? 思考 :兩條線分別代表什么意思？ 擬合值和殘差 obsno salar y roe salar y hat uhat 1 1095 1224 129 2 1001 1 165 164 3 1 122 1398 276 4 578 1072 494 5 1368 1219 149 6 1 145 20 1333 188 7 1078 1267 189 8 1094 1265 171 9 1237 1 157 80 10 833 1450 617 11 567 1442 875 12 933 1459 526 13 1339 1237 102 14 937 1375 439 15 201 1 2022 6 Salaryhat是擬合值， uhat是殘差 第二章 簡(jiǎn)單回歸模型（ 2） Chapter Outline 本章大綱 ? Definition of the Simple Regression Model 簡(jiǎn)單回歸模型的定義 ? Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 推導(dǎo)普通最小二乘法的估計(jì)量 ? Mechanics of OLS OLS的操作技巧 ? Unites of Measurement and Functional Form 測(cè)量單位和回歸方程形式 ? Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估計(jì)量的期望值和方差 Algebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) （ 1） OLS 殘差和為零 （一階條件 ) ? 因此 OLS 的樣本殘差平均值也為零 . 01111? ?? ( ) 0 ( 2 .3 0 )1?a n d t h u s , 0nnniiiiniiu y xubb???? ? ? ????? Algebraic Properties of OLS OLS的代數(shù)性質(zhì) （ 2）回歸元（解釋變量）和 OLS殘差之間的樣本協(xié)方差為零 (一階條件 ) 1 ? 0 ( 2 . 3 1 )n iii xu? ?? （ 3） OLS回歸線總是通過(guò)樣本的均值。其最小值，均值和最大值分別為： （ , ,) salary 對(duì) roe的回歸方程為： 963. 191 01salary roe??Example: CEO Salary and Return on Equity 例： CEO的薪水和 資本權(quán)益報(bào)酬率 對(duì)估計(jì)量的解釋?zhuān)? – : 常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值衡量了當(dāng) roe為零時(shí)CEO的薪水。 Alternate approach to derivation 推導(dǎo)方法二 ? ? ? ????????niiinii xyu121012 ??? bb? 給定一組樣本觀測(cè)值（ Xi, Yi）（ i=1,2,…n ）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值 . ? 普通最小二乘法 （ Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和最小 ?? ????? n iiin i XYYYQ121021))??(()?( bb方程組（ *）稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations） ? 為什么不是殘差的其他某個(gè)函數(shù)的最小化？ Using Eviews for OLS regressions 使用 Eviews 進(jìn)行 OLS回歸 ? 我們已經(jīng)推導(dǎo)出公式計(jì)算參數(shù)的 OLS估計(jì)值，所幸的是我們不必親手去計(jì)算它們。 The sample versions are as follows: ? ?? ? 0??0??11011101????????????niiiiniiixyxnxynbbbbDerivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) 根據(jù)樣本均值的定義以及加總的性質(zhì)，可將第一個(gè)條件寫(xiě)為 xyxy1010??or,??bbbb????Derivation of OLS 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??????????????????????niiiniiniiiniiiniiiixxyyxxxxxyyxxxyyx1211111111??0??bbbb第二個(gè)條件： So the OLS estimated slope is 因此 OLS估計(jì)出的斜率為 ? ? ? ?? ?? ?112211p rov i d ed t h 0?at niiinniiiix x y yxxxxb????????????思考：條件說(shuō)明什么？ 斜率估計(jì)量等于樣本中 x 和 y 的協(xié)方差除以 x的方差。 . . . . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { u1 u2 u3 u4 x y Population regression line, sample data points and the associated error terms 總體回歸線，樣本觀察點(diǎn)和相應(yīng)誤差 E(y|x) = b0 + b1x Deriving OLS Estimates 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? 假定： E(u|x) = E(u) = 0 可以得到： ? Cov(x,u) = E(xu) = 0 since u = y – b0 – b1x， 所以有： E(y – b0 – b1x) = 0 E[x(y – b0 – b1x)] = 0 These are called moment （矩） restrictions Deriving OLS using . 使用矩方法推導(dǎo)普通最小二乘法 矩方法是將總體的矩限制應(yīng)用于樣本中。 。 即，根據(jù) 估計(jì) 01( | )Y E Y X u X ubb? ? ? ? ?01? ?? ? ?i i i i iy y u x ubb? ? ? ? ?四個(gè)概念 ? 總體回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 樣本回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù) 四個(gè)概念 ? 總體回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 樣本回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù) 01? ?? ? ?i i i i iy y u x ubb? ? ? ? ?01Y X ubb? ? ?01( | )E y x xbb??估計(jì) Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 普通最小二乘法的推導(dǎo) 回歸的基本思想是從樣本去估計(jì)總體參數(shù)。 ▼ 回歸分析的主要目的 ：根據(jù)樣本回歸函數(shù) SRF， 估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。 這里將 樣本回歸線 看成 總體回歸線 的近似替代 注意： 01( | )i i i i iY E Y X u X ubb? ? ? ? ? 樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式 /樣本回歸模型 ： 同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式： 由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。該線稱為 樣本回歸線 （ sample regression lines）。 即，給定收入水平 Xi ,個(gè)別家庭的支出可表示為兩部分之和 : (*) 01( | )i i i i iY E Y X u X ubb? ? ? ? ?Sample Regression Function， SRF 樣本回歸函數(shù) 問(wèn)題： 能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問(wèn)：能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù) PRF？ 回答：能 例 ： 在例 ， 表 2 . 1 . 3 家庭消費(fèi)支出與可支 配收入的一個(gè)隨機(jī)樣本 Y 8 00 1 1 0 0 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1 1 2 2 1 1 5 5 1408 1595 1969 2078