【正文】 i ? 我們可以用殘差構(gòu)成誤差方差的估計(jì) Estimating the Error Variance 估計(jì)誤差方差 ? 首先，我們注意到 ?2=E(u2), 所以 ?2的無偏估 計(jì)量是 ? ui 是不可觀測的，但我們找到一個(gè) ui的無偏 估計(jì)量 ? ?ni iun 1 2)/1(? ? ? ?221? ? /22 iu S S R nn? ? ? ?? ?? 為什么除以 n2, 而不除以 n呢？這是因?yàn)樵谧?OLS估計(jì)時(shí)，我們使用了兩個(gè)限制條件，這兩個(gè)限制條件消耗了兩個(gè)殘差的自由度，換句話說，如果有 n2個(gè)殘差是隨機(jī)的，那么最后兩個(gè)殘差的值必定是確定的值，它們不能被視為隨機(jī)變量因而對方差不再有貢獻(xiàn)。 如果接受高等教育的人面臨的機(jī)會更多 ， 收入的差異可能更大 ， 在這一情形中 ， 上述假定未必成立 。比如， u包括了貧困率，它影響學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，又和是否有資格參加免費(fèi)午餐項(xiàng)目高度相關(guān) 。 ? 假定 ：零條件期望： 假定 E(u|x) = 0 . 那么在隨機(jī)樣本中我們有 E(ui|xi) = 0 ( | ) 0E u x ?Theorem (Unbiasedness of OLS) 定理 ( OLS的無偏性 ) ? 使用假定 ， 我們可以得到無論 b0,和 b1 取什么值 ， 它們的 OLS估計(jì)量的期望值等于它們各自的真值 。 擁有這類性質(zhì)的估計(jì)量稱為 最佳線性無偏估計(jì)量 （ best liner unbiased estimator, BLUE） 。 點(diǎn)估計(jì)量的性質(zhì)：估計(jì)量優(yōu)劣的衡量 作為一個(gè) 好的點(diǎn)估計(jì)量 ，統(tǒng)計(jì)量必須具有如下性質(zhì)： 無偏性、有效性、一致性 無偏性 (unbiasedness) ? 無偏性： 估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù) P( ) B A 無偏 有偏 ?????有效性 (efficiency) 有效性： 對同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì) 量 ， 有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效 A B 的抽樣分布 的抽樣分布 1??2??P( ) ?????一致性 (consistency) ? 一致性： 隨著樣本容量的增大 ， 估計(jì)量的 ? 值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù) A B 較小的樣本容量 較大的樣本容量 P( ) ?????為什么要研究最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)？ 當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。 經(jīng)驗(yàn)上驗(yàn)證 ，當(dāng)樣本容量等于或大于 30時(shí)，無論總體的分布如何，樣本均值的分布則非常接近正態(tài)分布。 并給出樣本均值的抽樣分布 3 2 4 4 3 2 1 1 第二個(gè)觀察值 第一個(gè) 觀察值 ?16個(gè)樣本的均值（ x） x 樣本均值的抽樣分布 0 P ( x ) 樣本均值的分布與總體分布的比較 ? = σ2 = 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 抽樣分布 P ( x ) 0 .1 .2 .3 x ?x? ?x? 考察 樣本均值的概率分布形式 。 x x1. 樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布， 是一種理論分布 – 在重復(fù)選取容量為 n的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布 2. 隨機(jī)變量是 樣本統(tǒng)計(jì)量 – 樣本均值 , 樣本比例，樣本方差等 3. 結(jié)果來自 容量相同 的 所有 可能樣本 抽樣分布 (sampling distribution) 抽樣分布的形成過程 (sampling distribution) 總體 計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量 如：樣本均值、比例、方差 樣本 樣本均值的抽樣分布 x 樣本均值的抽樣分布（ Sampling Distribution of ) 樣本均值的抽樣分布 【 例 】 設(shè)一個(gè)總體 ， 含有 4個(gè)元素 (個(gè)體 ) ， 即總體單位數(shù) N=4。 二、抽樣分布 在上述某公司 30個(gè)中層干部的簡單隨機(jī)抽樣中，如果再一次抽樣的樣本與前一次的不同，則可得到另外的平均年薪樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及受訓(xùn)干部的比例。 總體： 2500名中層干部（ population )， 如果： 上述 情況可由每個(gè)人的個(gè)人檔案中得知，可容易地測出這 2500名中層干部的平均年薪及標(biāo)準(zhǔn)差。由于時(shí)間及財(cái)力的限制： 主要用在下列兩種情況 ： 主要內(nèi)容： 抽樣估計(jì) (estimation) 假設(shè)檢驗(yàn) (hypothesis testing) 注意： ● 抽樣估計(jì)只得到對總體特征的近似測度 ，因此，抽樣估計(jì)還必須同時(shí)考察所得結(jié)果的“ 可能范圍 ” 與“ 可靠程度 ”。 遞增的教育回報(bào)：當(dāng)受教育程度提高時(shí)，工資的變化量也隨之增加。 R2呢？ 96 3. 19 1 18 50 .1sa lar y ro e de c??Units of Measurement 測量單位 結(jié)論： ? 改變因變量的度量單位，會以同等倍數(shù)改變斜率和截距； ? 改變自變量的度量單位，截距不變，斜率會以相反的方式改變； ? R2不依賴于度量單位。 ? 值得強(qiáng)調(diào)的是表面上低的 R2不一定說明OLS回歸方程是沒有價(jià)值的 GoodnessofFit 擬合優(yōu)度 ? Example CEO薪水和股本回報(bào) ? Example ? Voting outes and Campaign Expenditures 競選結(jié)果和選舉活動開支 2 0 .0 1 3 2R ?說 明 ， 股 本 回 報(bào) 率 僅 解 釋 了 薪 水 變 異 的 約 ％ 。 More Terminology 更多術(shù)語 ? 解釋平方和 ( Explained Sum of Squares， SSE)定義為 ? 它度量了 y的預(yù)測值的在樣本中的變動 21()niiS S E y y????More Terminology 更多術(shù)語 ? 殘差平方和（ Residual Sum of Squares， SSR）定義為 ? 殘差平方和度量了殘差的樣本變異 S S R =22? ?()i i iu y y???? 注意： SSR、 SSE沒有統(tǒng)一的定義。 – : b1 的估計(jì)值反應(yīng)了 ROE若增加一個(gè)百分點(diǎn)工資將平均增加 18500美元。若 x 和 y 正相關(guān)則斜率為正，反之為負(fù)。 估計(jì)方法 有多種，其種最廣泛使用的是 普通最小二乘法 （ ordinary least squares, OLS）。 注意： 這里 PRF可能永遠(yuǎn)無法知道。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? bb ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 （ 2）其他 隨機(jī) 或 非確定性 （ nonsystematic)部分 ui。 相應(yīng)的函數(shù)： 01( | )E y x xbb??例 2中，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為： （ *）式稱為 總體回歸函數(shù) （方程） PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。 因此，給定收入 X的值 Xi，可得消費(fèi)支出 Y的 條件期望 （ conditional expectation）： E(Y|X=Xi) 該例中： E(Y | X=800)=605 分析： ( , )( | )()jijiiP Y y X xP Y y X xP X x??? ? ?? 描出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“ 平均地說 ” 也在增加，且 Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。 Zero Conditional Mean Assumption 條件期望零值假定 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u ? E(u|x) = E(u) = 0. () ? ()說明總體回歸函數(shù)應(yīng)滿足 E(y|x) = b0 + b1x. ? E(y|x)是 x的線性函數(shù)， y的分布以它為中心。 E(u|x) = E(u)=0 條件期望 ? 令（ X， Y）代表一個(gè)工人總體， X是受教育程度，Y為小時(shí)工資。 ? For example, y=eb0+b1x+u . 轉(zhuǎn)化為： log(y)=b0+b1x+u For example, 01y x ubb? ? ?For example, 011yuxbb???簡單回歸模型例子（例 ） A simple wage equation wage= b0 + b1educ+ u 上述簡單工資函數(shù)描述了受教育年限和工資之間的關(guān)系， educ用受教育的年限來度量 u : 包含了其他非觀測因素，如勞動經(jīng)驗(yàn)、天生素質(zhì)、任現(xiàn)職時(shí)間等。 術(shù)語注解 在簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u ? u 為誤差項(xiàng) (error term)或擾動 (disturbance) ? 它代表了除了 x之外可以影響 y的因素。 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u 等式只有一個(gè)非常數(shù)解釋變量 。計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型化過程分析 理論的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型 不 合 格 模型的檢驗(yàn) 估計(jì)模型的參數(shù) 收集適當(dāng)?shù)馁Y料 (數(shù)據(jù) ) 合格 政策評價(jià)預(yù)測 第二章 簡單回歸模型 Chapter Outline 本章大綱 ? Definition of the Simple Regression Model 簡單回歸模型的定義 ? Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 普通最小二乘法的推導(dǎo) ? Mechanics of OLS OLS的操作技巧 ? Units of Measurement and Functional Form 測量單位和函數(shù)形式 ? Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估計(jì)量的期望值和方差 ? Regression through the Origin 過原點(diǎn)回歸 回歸分析 (regression analysis)是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論 。 我們稱之為 簡單回歸模型 ， 一元線性回歸模型 . Some Terminology 術(shù)語注解 Some Terminology 術(shù)語注解 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u y通常被稱為 因變量 (Dependent Variable) 左邊變量 (LeftHand Side Variable) 被解釋變量 (Explained Variable) 回歸子 (Regressand) 響應(yīng)變量（ response variable） 被預(yù)測變量（ predicted variable） 術(shù)語注解 簡單回歸模型： y = b0 + b1x + u x通常被稱為 自變量 (independent Variable) 右邊變量 (rightHand Side Variable) 解釋變量 (explanatory Variable) 回歸元 (regressor) 控制變量（ control variable） 預(yù)測變量（ predictor variable） 術(shù)語注解