【正文】 給出了回歸方程的截距 （ Intercept）的估計值 （ Coefficients）、斜率 （ X Variable 1）的估計值（ Coefficients）、截距和斜率標(biāo) 準(zhǔn)誤差 0?0b 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 t檢驗(yàn)中的 t統(tǒng)計量（ t Stat）、 P值 .（ Pvalue）以及截距和斜率 標(biāo)準(zhǔn)誤差、 t檢驗(yàn)中的 t統(tǒng)計量、 P值。給出了自由度（ df）、回歸平方和 與殘差平方和（ SS）、回歸平方和與殘差平方和的均方（ MS） 、 F統(tǒng)計量和 F檢驗(yàn)的顯著水平（ SignificanceF）。給出了相關(guān)系數(shù) (Multiple R)、可決系 數(shù)（ R Square）、修正的可決系數(shù)（ Adjusted R Square）、標(biāo) 準(zhǔn)誤差和觀測值的個數(shù)。 選擇“確定”后得到如輸出結(jié)果如下所示。 第三步：在分析工具中，選擇“回歸”，然后按“確定”。于是我們可以對國內(nèi)生產(chǎn)總值 x與貨運(yùn)周轉(zhuǎn) 量 y建立一元線性回歸方程 二、回歸分析 用 Excel軟件進(jìn)行回歸計算的步驟如下： 第一步：選擇“工具”下拉菜單。按“完成”。 第五步：定義 x軸為“國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP”、 y軸為“貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量”。 第二步：選擇“圖表”選項(xiàng) 第三步：選擇 XY散點(diǎn)圖。 ( 5% )? ?一、相關(guān)分析 繪制散點(diǎn)圖，以觀察國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量之間的 關(guān)系形態(tài)。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 已知某地區(qū) 1978年 ~2022年的國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDP與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量的數(shù)據(jù)如下表所示： 年 份 GDP ( 億元 ) 貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量 （億噸公里） 年 份 GDP ( 億元 ) 貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量 （億噸公里） 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1 993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2022 2022 2022 2022 案例： 一元線性回歸模型的應(yīng)用 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 試對其進(jìn)行一元線性回歸分析。但應(yīng)注意，要實(shí)現(xiàn)控制必須 | x1 x2 | 0 ，即應(yīng)有： 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 2 1 0 02 ?( 2 ) ( ) 0y y t n V a r y y?? ? ? ? ?2 1 0 02 ?2 ( 2 ) ( )y y t n V a r y y?? ? ? ?當(dāng)此條件滿足時， 1 2 1 2( ( , ) , ( , ) )M i n x x M ax x x 21 0 1 1 0 0222 0 1 2 0 02? ? ?( 2) ( ( ) )? ? ?( 2) ( ( ) )y x t n V ar y E yy x t n V ar y E y??????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???由 從而 y1和 y2應(yīng)該滿足： 即為 x的控制范圍。這等價于求 x1和 x2，使得當(dāng) Min(x1,x2) x Max(x1,x2)時，因變量 y以 1α的概率取值于 (y1,y2)。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 二、控制 所謂控制實(shí)際上就是預(yù)測的反問題。所以，為了提高預(yù)測精度，樣本容量 n應(yīng)越大越好，所給定的 x0不能偏離 太大，當(dāng) 時，預(yù)測結(jié)果精度最高；當(dāng) 很大時，預(yù)測結(jié)果就比較差。即： (二 )區(qū)間預(yù)測值 ??????? 1}P{)?,?( 2022022 yyyyyyy 滿足區(qū)間預(yù)測分為兩種：個別值的區(qū)間預(yù)測和平均值的區(qū)間預(yù)測。因此，也可以用 作為 的點(diǎn)估計值。 即 是 的無偏估計量，但不是 的無偏估計量。 原因 :（ 1）參數(shù)估計量不確定； （ 2）隨機(jī)項(xiàng)的影響 一、預(yù)測 （一）點(diǎn)預(yù)測 0?y010000100)( xyEuxy????????? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 于是，我們把點(diǎn)預(yù)測分為兩種：一是平均值的點(diǎn)預(yù)測，二是個別值的點(diǎn)預(yù)測。例如，對于例 2. 1，我們可以采用以下標(biāo)準(zhǔn)記法： )( )()( )(????????tSxy ii有時 S（回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，有時也記為 Se ）也可不寫； t 統(tǒng)計量右上角 *的表示顯著性水平的大小，**一般表示在顯著性水平 1％下顯著， *一般表示在顯著性水平 5％下顯著，無 *表示 5％下不顯著。但對于多元線性回歸方程這三種檢驗(yàn)有著不同的意義，并不是等價的，需分別進(jìn)行檢驗(yàn)。 (見下表 ) 401 1 / 10( 2)ESSF RSSn? ? ??變差來源 平方和 自由度 均方 F統(tǒng)計量 回歸 殘差 1 10 總變差 11 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 表 方差分析表 方差分析 變差來源 df SS MS F Significance F 回歸 1 09 殘差 10 總計 11 第三步：給定顯著水平 5%? ? ，查 F 分布臨界值得到 ( 1 , 10) ? 第四步：做出統(tǒng)計決策 ，所以我們拒絕原假設(shè) 0 H ，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為 x與 y 關(guān)系顯著即回歸方程顯著， F 檢驗(yàn)通過。 RSS＝ (計算過程見計算表 ) 或直接取 自輸出結(jié)果 2. 1中的方差分析部分“殘差（行） SS（列）” ()。 )],(,0[ 21 vvF ? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 ),( 21 vvF ??? ?? )},({ 21 vvFFP拒絕域 接受域 ?? ??? 1)},({ 21 vvFFP 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 例 ：以例 ， F檢驗(yàn)過程如下 ： 第一步：提出假設(shè)。 方法三：在給定的顯著性水平下，計算 F的置信區(qū)間 。 第三步：給定顯著水平 α， 查 F分布臨界值得到 第四步：做出統(tǒng)計決策 )2,1( ?nF ? 變差來源 平方和 自由度 均方 F統(tǒng)計量 回歸 殘差 ESS RSS 1 n2 ESS 總變差 TSS n1 22 eSnRSS ??21 ySnTSS ??)2/(1?? nR SSE SSF 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 方法一：查自由度為（ 1,n2）的 F分布表，得到臨界值（ i）若 則在 1?水平下拒絕 原假設(shè)H0，即模型的線性關(guān)系顯著成立，模型是顯著的； 否則接受 原假設(shè) H0，即模型的線性關(guān)系不是顯著成立的，模型是不顯著的。 可以證明： )1(~ 22 ??uE SS )2(~ 22 ?nR SSu??)2,1(~)2(1 ???nFFnR SSE SS所以： 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 即 F統(tǒng)計量服從第一自由度為 1,第二自由度為 n2的 F分布。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 其檢驗(yàn)步驟為： 第一步 ：提出假設(shè)?？蓻Q系數(shù) 的 取值范圍 ： [0,1] R2越接近 1，說明實(shí)際觀測點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高 。 ﹖ 既然 RSS反映樣本觀測值與估計值偏離的大小，可否直接用它作為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的統(tǒng)計量？ 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 可見，回歸平方和（可解釋平方和） ESS在TSS中所占比例越大，殘差平方和 RSS 在 TSS中所占比例就越小，說明回歸效果就越好，即回歸線與樣本觀測值擬和的越好。 yyi ?iiiii eyyyyyyyy ???????? )?()?()?(??? ????? 222 )?()?()( yyyyyy iii對上式兩邊求平方和得到： 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 222)( ynyyyT S S ii ???? ??2102 ??)?( ynyxyyyE SS iiii ????? ??? ?????? ????? iiiiii yxyyyyR S S 1022 ??)?( ??即 總離差平方和（ Total Sum of Squares） 可以分為 可解釋平方和（ Explained Sum of Squares）與 殘差平方和（ Residual Sum of Squares ），簡記為： TSS=ESS+RSS 其中 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 TSS為總體平方和，反映樣本觀測值總體離差的大??；ESS為回歸平方和，是由回歸方程確定的，反映由模型中解釋變量所解釋的那部分離差的大小，即由 x的變動引起的； RSS為殘差平方和，反映樣本觀測值與估計值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小，即由隨機(jī)項(xiàng) u的波動引起的。 圖 1 圖 2 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 總離差平方和的分解 已知由一組樣本觀測值（ xi,yi）， i=1,2…, n得到如下樣本回歸直線 ii xy 10 ??? ?? ??而 y 的第 i 個觀測值與樣本均值的離差 可以分解為兩個部分之和。普通最小二乘法所保證的最好擬合，是同一個問題內(nèi)部的比較，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果所表示的優(yōu)劣是不同問題之間的比較。 977 028 )?(?111 ??? ??St 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 二、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) (Goodness of Fit Test) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗(yàn)。 )2(~)?(?11 ?? ntSt ?? 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 t n )2(2 ??t n )2(2 ?? ? 接受域 拒絕域 拒絕域 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 例 22：在上述汽車銷售例中，對回歸系數(shù) ?1首進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。 ? 判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 顯著性檢驗(yàn) —t檢驗(yàn) ))(,(~? 2211 ? ? xxNiu???)2(~)?(?11 ?? ntSt ??由于真實(shí)的 未知，在用它的無偏估計量 替代時，可構(gòu)造如下統(tǒng)計量： 2?22???ne iu?2u?對于一元線性回歸方程中的 ，已經(jīng)知道它服從正態(tài)分布： 1??? ?? 221 )(?)?(xxS iu??其中： 的標(biāo)準(zhǔn)差的樣本估計值。 ? 假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。 ? 計量經(jīng)計學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。這就需要進(jìn)行 變量的顯著性檢驗(yàn)。 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院計量經(jīng)濟(jì)教研室 一、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 回歸分析 是要判斷 解釋變量 X是否是 被解釋變量 Y的一個顯著性的影響因素。 ? 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計檢驗(yàn) 。 β 0在置信水平為 95％下的置信區(qū)間為：（ ，） 對于例 21，從輸出結(jié)果可見： β 1在置信水平為 95％下的置信區(qū)間為： （ ， ） 第四節(jié) 統(tǒng)計顯著性檢驗(yàn) 一、回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 二、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 三、方程顯著性檢驗(yàn) 四、三種檢驗(yàn)