【正文】 （七） 精確度謬誤 根據(jù)抽樣誤差理論，一個統(tǒng)計推論的結(jié)論一定是一個區(qū)間估計。如果是均值，則根本沒有什么意義。當(dāng)你有一天打算應(yīng)聘某一公司時，看到招聘宣傳材料上關(guān)于該機(jī)構(gòu)員工的平均工資不低的信息時，可不要急于眼熱心跳。令人疑惑的是，兩次談到年齡時，都明言指的是中位數(shù)，而關(guān)于收入 卻不指出是哪種平均數(shù)。美國《時代》雜志（ 1954 年）在描述該雜志的新訂閱者時寫道，“他們的平均年齡（中位數(shù)）為 34 歲，家庭平均年收入為 7270 美元”。當(dāng)人們希望數(shù)據(jù)較大時，就可能使用算術(shù)平均數(shù)。當(dāng)病人的家屬被嚇得夠嗆時，醫(yī)生又不緊不慢地說，但您們 很幸運，因為您們遇到了我，我之前所看過的這種病人已有 9 個死掉了。即使硬幣正面朝下出現(xiàn)了 6 次，再拋擲時硬幣正面朝上的概率仍是 1/2。但是，這種概率只是一個長的過程或趨勢的性質(zhì)。在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，這種頻率總是接近于某個常數(shù)。賭徒的錯誤在于誤解了“大數(shù)定律”或“平均定律”。一個賭徒在輸?shù)魩状沃螅哟筚€注，以期在“應(yīng)該”要發(fā)生的事件到來時大撈一把。其實，那么小的樣本量，用來做推論性的論斷，只有兩個字評價 —— “垃圾”，我相信任何學(xué)過統(tǒng)計，學(xué)過抽樣的人都會和我有同感。 據(jù)稱，此次調(diào)查了本市某高中兩個班級共 89 人，其中男生 53 人，女生 36 人，年齡在 16－ 17 歲。 （四） 樣本太小 來看一看被從事社會學(xué)專業(yè)的評論者認(rèn)為是“ 弱智的一塌糊涂的一則新聞”。所以，人們不無諷刺地說，該樣本選擇了蘭登，而選民心理卻想著羅斯福。 后來的大學(xué)論文和報社評論員發(fā)現(xiàn)， 1936 年有能力購買電話和訂閱雜志的人并不能真正代表選民， 樣本偏向了與一般人相比具有高收入、受過良好教育、信息來源廣、靈敏度更高、舉止優(yōu)雅、行為保守、更多固定習(xí)慣等特點的群體。 1936 年， 擁有 1000 萬訂閱者的 《文學(xué)文摘》 137 共發(fā)出 2020 多萬張選票，回收 237 萬張選票，預(yù)測 蘭登與羅斯福的票數(shù)比是 370:161，該刊 根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果宣布：蘭登將擊敗羅斯福！但投票結(jié)果是，羅斯福以 2775 萬票贏得了 46個州，比對手蘭登多 1107 萬張選票，選舉人票是 523 票對 8 票。《文學(xué)文摘》的方法創(chuàng)新在于將局部性民意測驗推廣到全國。一個為人們所津津樂道的、聞名全世界的例子是 1936 年《文學(xué)文摘》（ Literary Digest）因一個統(tǒng)計推理謬誤的慘敗。難道不需要知道有多少心理醫(yī)生接到了調(diào)查表，多少名做出了回答，他們的合格程度怎樣？增長用萬的百分?jǐn)?shù)會不會更有意義？很可能銷售量不過是從 ，而其他汽車的銷售量比它不知要大出多少倍。 這些數(shù)字，有的盡力求大，有的著力求小，有的努力求準(zhǔn)，目的都不外讓你印象深刻。 拳擊并不如其他體育項目危險。表面的龐大和微小都是有奧秘在里邊的： 假若有 785名心理醫(yī)生都對精神失常的被 告表示支持，便有充分的理由讓我們也對其表示支持。 利用百分比眩人耳目，還有另一種常見的方式：選取便利合用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。孰優(yōu)孰劣？假如我們知道所謂兇殺案的增長只不過是從 3件增加到 5件，你心中的石頭準(zhǔn)會落回到地上了。如果想暗示隱含結(jié)論：我們的業(yè)績更好或犯罪浪潮席卷本市，那是不適當(dāng)?shù)摹? 這兩個例子，都使用了正確的百分比。 （二） 遺漏信息的數(shù)字 我們的計算機(jī)銷售市場份額增加了 50％，而我們的對手只增加了 25％。后者在哪里都有較高的死亡率。這兩個數(shù)據(jù)的對比實際上沒有意義，因為忽略了決定死亡率的很多變量。面對統(tǒng)計資料和論證，我們應(yīng)該經(jīng)常提出 5 個批判性問題： ？ —— 驗證資料來源的正當(dāng)性和權(quán)威性； ？ —— 檢驗樣本； 3.遺漏了什么？ —— 揭示相關(guān)因素和比較基礎(chǔ)； ？ —— 洞察概念的不同解釋對得出結(jié)論的關(guān)鍵影響； ？ —— 揭露統(tǒng)計數(shù)據(jù)賴以建立的未經(jīng)證實的假設(shè)。但 不談取樣方 法 ，不 言 樣本容量，不考慮誤差范圍， 不澄清數(shù)字含義 ， 都可能使推理變成謬誤或失去意義。那些對應(yīng)于這些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)通常接近正態(tài)分布，它在圖表上的曲線呈鐘形。這就是對應(yīng)于隨機(jī)現(xiàn) 象的數(shù)據(jù)組。這就表明，三種平均數(shù)有不同的功用。假如公司之外的人認(rèn)為，該公司付的只是維持生活的工資，那么經(jīng)理可以回應(yīng)說，本公司的平均工資是非常高的 65000 元。比如，高級工程師要求提高薪水，經(jīng)理可能回答說，他的 薪水早已超過平均水平（在中位數(shù)和眾數(shù)的意義上），因此不能再高了。這三個數(shù)值都表示該公司的平均年薪酬，但是在不同的意義上。例如，關(guān)于薪水問題的平均數(shù)。 在年齡例子中，均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相互 不同，但很接近。例如，上表中出現(xiàn)次數(shù)最多（ 4 次）的年齡是 19 歲。譬如，由于一些不尋常的情況，數(shù)據(jù) ｛ 2, 5, 5, 8, 10｝ 改變成 ｛ 2, 5, 5, 8, 100｝ ，這個數(shù)據(jù)的 均數(shù)會由 6 增加到 24，但中位數(shù)就不受這個異常情況所影響而維持在 5 不變。 2 = 。 上列年齡表的數(shù)字集合可寫為｛ 18,19,19,19,19,20,21,21,22,22,22｝，一共有 11 個數(shù)，第 6 個便是中位數(shù)，即 20。例如 ，列出某個班級一組學(xué)生的年齡， 人數(shù) 年齡 1 18 4 19 1 20 2 21 3 22 所有人的年齡相加除以人數(shù)就得到該組人的平均年齡（均數(shù)），也即算術(shù)平均數(shù)。在評估依賴平均數(shù)的論證時，知道被使用的“平均數(shù)”一詞的精確意義常常是重要的。 （三） 數(shù)據(jù)的意義 統(tǒng)計推理中 最常提及到的統(tǒng)計數(shù)字是平均數(shù)。 所以，我們可以說，所有統(tǒng)計推理得到的結(jié)論，都應(yīng)是以兩個數(shù)為邊際數(shù)的區(qū)間。 如果 某選舉候選人支持率統(tǒng)計調(diào)查 有 3%的誤 134 差幅度，如果該調(diào)查的結(jié)果是選民對候選人甲 的 支持率為 52%，則 具有 95%可靠性 的 置信區(qū)間等于 52 177。這個區(qū)間通常叫置信區(qū)間，其大小與樣本的容量 N 的大小有關(guān)。由上述討論可知，統(tǒng)計推理得出的結(jié)論不是一個和樣本頻率相等的數(shù)值，而是一個和樣本頻率相靠近的區(qū)間。 （二） 區(qū)間估計 抽樣誤差本質(zhì)上并非錯誤，因為只有對總體的 每一個分子都進(jìn)行調(diào)查（然而這就不是抽樣統(tǒng)計）才會得到與總體完全相等的數(shù)據(jù)，所以再完善的抽樣統(tǒng)計程序和方法都無法避免有抽樣誤差。缺少這樣的信息，面臨評估這種證據(jù)的人必須使用他的最好判斷。原來，在民意測驗中，黑人不愿意把自己真正的想法告訴那些白人調(diào)查員。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，他最 多能獲得黑人中約 50％的選票。美國 1988 年大選，報紙曾對杰西 第三，另一個產(chǎn)生心理影響的來源是調(diào)查者和回答者之間的個人互動。類似的夸大也可能是一個提問的措詞的后果。像“你多長時間刷一次牙？”“一年內(nèi)你讀多少書？”可以期望得到高估的回答。例如，如果一項研究需要調(diào)查居民的收入，以便決定能否承擔(dān)得起提高的所得稅，那么，人們會低估收入。 當(dāng)總體是人組成的時，心理因素可能有重大作用。調(diào)查表隨雜志的某一期 發(fā)出，回收后得到的樣本也有局限性，得出的統(tǒng)計數(shù)據(jù)很難推廣到比該雜志讀者更大的群體上。打電話的時間影響所獲得的回答的種類。一個較少偏 頗的樣本似乎可能通過從電話簿隨機(jī)選擇電話號碼而獲得。 8 100 177。 5 400 177。 4 750 177。 2 1500 177。 人們根據(jù)實踐經(jīng)驗總結(jié)出了在 95％的置信水平上樣本 大小 和誤差范圍及置信區(qū)間的關(guān)系 ，即在有代表性的樣本的大小確定的情況下，考慮到抽樣誤差所得到的關(guān)于總體的結(jié)論可以有 95％ 的概率為真 。抽樣誤差是樣本中某性質(zhì)出現(xiàn)的頻率與總體中該性質(zhì)出現(xiàn)頻率之間的差距。在樣本隨機(jī)選出的情況下，越是大的樣本，越接近于復(fù)制總體。因此，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性就可能因忽略了這部分群體的意見而受到影響。 即便這樣，這種方法在實際運用中仍然留給調(diào)查人員隨意性。但分層抽樣可能遇到分組比例的信息的正確性問題。例如，按經(jīng)濟(jì)收入的多少，將全國或某一區(qū)域的居民家庭分為四層：月收入在 5000 元以上的；在 3000 元到 4999元的； 1000 元到 2999 元的以及 1000 元以下的。 在考慮到難度和經(jīng)濟(jì)代價時，分層抽樣作為純隨機(jī)抽樣的替代品。更可 能確保挑選隨機(jī)樣本的程序是，拋擲一對骰子，每當(dāng)出現(xiàn) 10 點時就對應(yīng)選取一個零件。因為有這樣一種可能：由于機(jī)械過程的某個故障，每到第 10 個零件就產(chǎn)出優(yōu)等品，其余均為非優(yōu)等品。如果該工程師每次都取第 10 個進(jìn)行測量。但是，當(dāng)總體由離散的單元組成時，必須更多地注意隨機(jī)性要求。例如，當(dāng)醫(yī)生為檢驗 血糖而抽取血樣本時，不必要從被檢測者的手指、胳膊和腿分別抽取一點。假若現(xiàn)在香港島、新界、九龍和大嶼山各區(qū)都裝置了雨量器以收集雨水，這樣的抽樣是否就免于偏差呢？若果雨量器所處的地 132 方有些在野外空地、有些在樹蔭下、有些在瀑布或溪澗旁邊等等，那么在某些地點落下的雨水被雨量器收集 的概率 會比其 他 地點的高（位于某些地點的雨量器甚至連并非來自降雨的水也收集下來）。反 之 ，非隨機(jī)抽樣得到 的樣本 是偏頗的 ，即總體中的某些分子比其他 分子 有較大機(jī)會被抽 中 ，因此所得的 數(shù)據(jù)未必能夠推廣到總體本身。一般要考慮三個因素：； ； 。無代表性的樣本是偏頗的或有偏見的。然而，怎樣的抽樣統(tǒng)計才能 保證 達(dá)到這 個目標(biāo)呢？ 基本條件是：樣本有代表性；考慮抽樣誤差；正確理解數(shù)據(jù)的意義。 當(dāng)有限的人力、時間及財力等資源 不允許 我們對研究對象的每一個分子進(jìn)行 考察時 ，采用抽樣統(tǒng)計方法 便成為必要 。 統(tǒng)計概括的一般形式是 隨機(jī)樣本中有 N（百分?jǐn)?shù)）的 S 是（或不是） P 所以，可能總體 P 中有 (177。 例如， 為 了解 男女出生率，對不同時代、不同地區(qū)、不同民族的嬰兒出 生情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，男女出生比均 在 105∶ 100上下波動 。 一、統(tǒng)計概括 當(dāng)我們的概率推理以頻率理論為基礎(chǔ)時，就可以 從總體中抽取一部分 對象 作為樣本，考察樣本中的每一 對象 ， 得 出樣本 中某一性質(zhì)出現(xiàn) 的概率，然后再根據(jù)樣本的概率推測總體的概率。這時，統(tǒng)計推理成為我們的有力工具。但這并不能阻止我們推理的步伐?！卑パ?，在圣誕節(jié)前夕，當(dāng)沒有給它喂食，而是把它宰殺時就毫不含糊地證明這個結(jié)論是錯誤的。它每天都在它的表中加進(jìn)另一個觀察陳述。它一直等到已收集了有關(guān)上午九點給它喂食這 — 事實的大量觀察。這只火雞發(fā)現(xiàn)，在火雞飼養(yǎng)場的第一天上午九點鐘給 它喂食。伯特蘭 但是，即使在滿足這三個條件時，錯誤結(jié)論的危險依然存在。因此，我們的正確策略是，應(yīng)該在最可能有反例存在的地方去努力尋找反例，如果經(jīng)過這種鍥而不舍的努力，仍然沒有發(fā)現(xiàn)反例，那么，我們所得出的普遍概括就得到更大的支持。正是這一點既構(gòu)成枚舉歸納的合理基礎(chǔ)，也成為它始終面臨威脅的源泉。所以，條件 (3)更是必不可少的。如果在所有這些情況下，所有受熱的金屬樣品都膨脹，那時，也只有在那時，從所得的一系列觀察陳述中概括出普遍性結(jié)論才是合理的。應(yīng)該加熱各種各樣的金屬，長鐵棒、短鐵棒、銀棒、銅棒等等。這就是為什么條件 (2)是必要的。就我們所 提到的那 130 些例子而言，增加觀察數(shù)目的一個方法可以是，反復(fù)地加熱一根金屬棒或連續(xù)地觀察某一個陜北人夜夜醉歸。 只在觀察一根或少數(shù)幾根金屬棒膨脹的基礎(chǔ)上就做出所有金屬受熱膨脹的結(jié)論，顯然是不合理的，正如在觀察一兩個酒醉的陜北人的基礎(chǔ)上就做出所有的陜北人都是酒徒的結(jié)論是不合理的一樣。 (2)觀察必須在各種各樣的條件下予以重復(fù)。例如，可以合理地從涉及石蕊試紙浸在酸中變紅的一系列有限觀察陳述中概括出普遍性定律“酸使石蕊變紅”，或者從一系列受熱金屬的觀察中概括出定律“金屬受熱膨脹”。 游客從有限的單稱觀察陳述，推導(dǎo)出或猜想一個普遍規(guī)律。于是，游客很自然地產(chǎn)生了一種想法：桂林的山是不是個個都有洞 ?有的游客則干脆說：桂林的山都是有洞的。 第二節(jié) 枚舉推理 枚舉推理是根據(jù)在各 種條件下對大量 S 的觀察發(fā)現(xiàn) S 無例外地具有性質(zhì) P，得出所有S 很可能有 P 性質(zhì)的結(jié)論。這就要看是否滿足諸如此類的條件：考察了各種條件下的、大量的 S，在最有可能存在反例的地方努力尋找反例而未果等等。有另外一些因素制約這種結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的支持力。一部分是顯示論證結(jié)構(gòu)的，這是某一類歸納論證的所有實例都具備的，如所有簡單枚舉歸納的結(jié)構(gòu)都是：“ S1是 P， S2 是 P?? Sn 是 P，沒有反例 (即不 是 P 的 S)， S1－ Sn只是 S 類 129 的部分對象，所以，可能所有 S 是 P”。需要注意的是，歸納論證的強(qiáng)與弱，不只是由論證的形式來決定。這也等于說，一個強(qiáng)的歸納論證，其前提真而結(jié)論假是不大可能的。 我們將用“強(qiáng)的”或“合理的”來刻畫一個歸納論證的邏輯特征。這就如同選擇終身伴侶一樣，既然我們不可能挑選出才貌雙全的天仙般的公主，那么，五官端正也是可以接受的選擇。就如圖爾敏所要求的，結(jié)論應(yīng)該有某種模態(tài)限定。我們只是想得到某種程度的擔(dān)保，如果這種擔(dān)保程度較高則正中下懷。因為，滿足有效性 標(biāo)準(zhǔn)必須使得一個論證的形式?jīng)]有反例，或者肯定論證的前提而同時否定其結(jié)論會導(dǎo)致矛盾。本書討論的歸納推理的類型共有 4 種：簡單枚舉推理、統(tǒng)計推理、歸納決策和條件因果推理?，F(xiàn)代意義上的歸納邏輯包括概率推理、統(tǒng)計推理、條件因果推理以及歸納