【正文】 第三章 矩陣與矩陣之間的關系和應用 25 矩陣相似 相似矩陣的定義 若存在可逆矩陣 P ，使得 BAPP ??1 ，則 A 相似于 。 證：由題設條件知，存在可逆矩陣 P 和 Q ，使得 DBCAPP TT ?? ， 。 （法 2） ????????EA ?????????? ?? 換只進行其中的初等列變對和初等列變換進行同樣的初等行變換對 EA????????PB ， 當 A 化為 B 時，單位矩陣 E 也相應地化為可逆矩陣 P ，則 BAPPT ? 。 解題技巧 ： 就本題要求出使兩矩陣合同的可逆矩陣。 （法 2）采用初等變換法。 解：（法 1）因為實對稱矩陣 A ， B 對應的二次型分別為 323121 2 xxxxxx ?? 與 32312121 23 yyyyyyy ??? ， 直接做出可逆線性變換使前者變?yōu)楹笳?，則此可逆線性變換的矩陣即為所求的可逆矩陣。 注：由于 A 是實對稱矩陣，且二次型 xAxT 用正交變換化為標準形后，其平方項的系數即為 A 的特征值，故求出 A 的特征值即可確定 A 的秩與正慣性指數 。 （法 2）對 A 采用相同的初等行、列變換化為對角矩陣（因不需求合同變換矩陣P ,故不必構造矩陣 ????????BA進行化簡） A ?? ?? ?? 23 23 22rr cc???????????600010001 ， 故 A 的秩為 3，且正慣性指數為 2。 有關合同矩陣的例題 例 1 與矩陣????????????220210001A 合同的矩陣是（ ） ? ? ???????????011A ， ? ? ???????????111B ， ? ? ????????????111C ， ? ? ????????????011D 。 （二）合同矩陣的有關結論 ： （ 1）經過可逆的線性變換 yCx? ，新二次型 yByf T? 的矩陣與原二次型xAxf T? 的矩陣是合同的，即 ACCB T? ； （ 2）數域 P 上秩為 r 的任意一個 n 階對稱矩陣 A 都合同于一個秩為 r 的對角矩陣D ，即存在可逆矩陣 C ，使 DACCT ? ， 這里 D 的對角元素中有 r 個非零。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 22 第三章 矩陣與矩陣之間的關系和應用 矩陣合同 合同矩陣的定義 設 BA， 是數域 P 上的矩陣，如果存在數域 P 上的可逆 nn? 矩陣 C ， 使 ACCB T? ， 則稱 A 與 B 合同。 這個結論的證明如下： 因為 A 是正定矩陣，由 (1)知存在可逆矩陣 P ，使 EAPPT ? ，又矩陣BPPT 也是實對稱矩陣，故有正交矩陣 Q ，使 ? ? ? ?nTT d ia gQBPPQ ??? ， ?21? ， 令 PQC? ，則 C 滿足題目的結論的形式 ,又 ? ? ? ?nTT d ia gBCCECBAC ???????? ??????? ， ?21， 因此 n??? ， ?21 是 多項式 BA?? 的根 。 實際上，對于任何正整數 k ，都有正定矩陣 C ，使得 kCA? 。 注意： 對于與正定矩陣有關的題目，下面結論往往會有用。 證明：由 A 是可逆矩陣，則 TAA 為正定矩陣，于是有正定矩陣 S ，使得 2SAAT ? ， 令 ASQ 1?? ，顯然有 ET ? 。 即 2P 是正交矩陣，且 ? ? ? ?nTT d ia gCCCCPAAPAPP ?? ， ?112111211 ???? ??? 。 證：由于 A 實滿秩， 所以 A 可逆， 從而 AAT 為正定矩陣，所以存在正交矩陣1P ，使得 ? ? ? ?nTT d ia gPAAP ?? ， ?111 ? ， ① 其中 ? ?nii ， ?210 ??? 。由于 ? ? ? ? ? ? ? ? EAAAAASAASSAPP TTTTTT ???? ?????? 1112111 所以 P 為正交矩陣。 證：因為 AAT 是正定矩陣，所以存在正定矩陣 S ，使 2SAAT ? 。又EA 2? 的特征值為 222 21 ??? n??? ， ?，從而 ? ?? ? ? ? nnEA 22222 21 ?????? ??? ?。 于是 ? ? ??????????? ?? EQEQEEA 2222 11 ? ? ? ?? ? ? ? nnnd i a g 2222222 2121 ???????? ?????? ?? ， 。 例 7 設 A 是 n 階正定矩陣，證明 nEA 22 ?? 。 充分性：已知 ABAB T? 正定，則對 nRx?? 且 0?x 有 ? ? ? ? ? ? 0???? xAxBxBxAxABABx TTTT 。 必要性：若 ? ? nAr ? ，則 1?A 存在，令 1??AB ，則 ? ? ? ? EAAEAAAAABAB TTT 2111 ?????? ???。 例 6 （北京大學）設 A 為 mn? 實對稱矩陣，證明： ? ? nAr ? 的充分必要條件是存在一實 nn? 矩陣 B ，使得 ABAB T? 正定，其中 TB 為 B 的轉置。再令110????。因為存在正交矩陣 T ，使 ? ?nd ia gATT ??? ， ?211 ?? 其中 n??? ， ?21 為 A 的全部實特征值。求證：對充分小的正數 ? ， AE ?? 為正定矩陣。因為實對 稱矩陣 A 的特征值為實數，所以A 的特征值為 1 或 3，即 A 的特征值全大于零，故 A 為正定矩陣。 證：（ A 滿足多項式矩陣方程，只要證明 A 的特征值全大于零即可） 設 xxA ?? ，即 ? 是 A 的特征值， x 是 A 對應 ? 的特征向量，則有 ? ? ? ?xxEAAAA 1216741216740 234234 ?????????? ????。 例 4 設 A 是 n 階實對稱矩陣，且滿足 0121674 234 ???? EAAAA 。 設 n??? ， ?21 是 A 的特征值，由 A 正定知 ? ?nii ,2,10 ???? 。又 1??? AAA ，從而對任意 0?x ，有 （注意 AAT? ，且當 0?x 時 01 ?? xA ） 第二章 幾種矩陣的判定和應用 19 ? ? ? ? 011111 ???? ?????? xAAxAAxAAAxAxAAxxAx TTTT 又 ? ? ? ? ? ? ????? ???? AAAAAAAA TTT 111 ，即 ?A 是實對稱矩陣，故 ?A 是 正定矩陣。 例 3 證明：若 A 是 正定 矩陣，則 ?A 也是 正定 矩陣。 故 2BA? 是正定矩陣。 證：（這是證明兩矩陣之差為 正定 矩陣，可采用定義證之） 因為 A 是 正定 矩陣，所以 AAT? ，且對任意 n 維實列向量 0?x 有 0?xAxT 。 例 2 設 A 為 n 階 正定 矩 陣， B 為 n 階實反對稱矩陣。 解題技巧：要證矩陣正定時，應先證其為對稱矩陣，然后在利用正定矩陣的判 定 條件來進行證明。 于是，對任意 0?x ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? 0????????? xBAxBxBABxxABBx TTTTT ， 故 ABBT 為 正定 矩陣。由于? ? nBr ? ，則齊次線性方程組 0?xB 只有零解，從而對于任意實 n 維列向量0?x 有 0?xB 。 有關正定矩陣的例題 例 1 設 A 為 m 階 實對稱 且 正定 ， B 為 nm? 實矩陣， TB 為 B 的 轉置矩陣，試證 明 ： ABBT 為 正定 矩陣的充分必要條件是 B 的秩 ? ? nBr ? 。 對于抽象給出的矩陣 A 來說： 方法 1：利用定義：即對任意列向量 0?x ，恒有 二次型 0?xAxT ，則 A 為正定矩陣（當證明若干個矩陣之和或積為正定矩陣時，常采用此法）。 正定矩陣的判定方法 對于具體 給出的 矩陣 A 來說： （ 1）判斷是否為實對稱矩陣 。 正定矩陣的判定條件 （ 1） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是 A 與單位矩陣 E 合同 ； （ 2） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是，存在 n 階實可逆矩陣 C ，使得 CCA T? ； （ 3） n 階 實對稱矩陣 nnijaA ?? ）（ 是正定的充分必要條件是 A 的 順序主子式都為正 ， 即 0212222111211?kkkkkkaaaaaaaaa??????； （ 4） n 階 實對稱矩陣 A 是正定的充分必要條件是 A 的特征值全為正 ； （ 5） A 是正定矩陣，由 A 的對稱正定性知，存在正交矩陣 Q ，使得 ? ?nT d ia gAA ??? ?， 211 ??? ，其中 ? ?nii ?， 210 ??? 。因為本題所求出 A 的特征值互異，所以其對應特征向量必正交，從而對特征向量直接單位化即可。 解題技巧 :通過 觀察 A 可知其為實對稱矩陣，則存在正交矩陣 Q ，使得 AQDQT ?或 DAT ? ，再將對角陣 D 寫成 20D ，即可得答案 TDX 0? 。 例 2 （北京航空航天大學）已知???????????2918418241441413A ，求滿足關系 AX ?2 的實對稱矩陣 X 。若其特征值互異，則可通過解 ? ? 0?? xAEi? 來求對應的特征向量，然后直接將其單位化。 故正交矩陣??????????????????????31620316121316121Q，使得 ?????????????4000100011 AA T 。 （ 2）可求得 ? ? ? ?412111211122 ?????????????? ?????? AE ， A 的特征值為 41 321 ??? ??? ， 。 解：（ 1）可求得 ? ?? ?94333351315?????????? ??????? AE ， A 的特征值為 940 321 ??? ??? ， 。 第三步：構造正交矩陣 ? ?ttrttrr qqqqqqqqqQ ，， ???? 212222111211 21? ， 則?????????????????trtrrTEEEAA????21211 。又設對應特征值i? 的 ir 個線性無關的特征向量為 ? ?tippp iirii ， ?? 2121 ?。 實對稱矩陣 ? ?nnijaA ??正交相似于對角矩陣的計算方法 ： 第一步：求 A 的特征值和對應的線性無關 特征向量。 注：若 A 為實反對稱矩陣 ? AAT ?? 。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：有關矩陣問題的解題技巧及在考研中的應用 14 令 ?????????? ???? ? 3113 311322 1121 PPP，則 P 為正交陣，且 BAPPT ? 。也可求得正交陣 ，???????????? ??232121232P 使得 ???????? ?? 10 0322 BPP T?？汕?得正交陣 ，???????????? ??212121211P 使得 ???????? ?? 10 0311 APP T。 例 3 （長春地質學院）設有二階矩陣 ?????????????????? 03 3212 21 BA ， ，試分別將它們用正交矩陣化為對角矩陣，并求正交矩陣 P ，使 BAPPT ? 。矛盾，即證結論。若存在 n 階正交 矩 陣 A ,B 使 22 BABA ?? ， ① 式 ① 右乘 1?B 得 12 ??? BAB