線性代數(shù)：矩陣的運(yùn)算(參考版)
2025-08-08 10:12本頁(yè)面
【正文】 行是是一個(gè)三階矩陣，則設(shè)??????????321321],[)1(yyyAxxxA.__________,BA,)2(滿足則也是對(duì)稱矩陣若階對(duì)稱矩陣為設(shè)BAABn1 1 BAAB ?。與矩陣，則是一個(gè)設(shè)TT AAAAnmA ?.31. 設(shè) A,B為 n階對(duì)稱陣 ,則 A+B也是 n階對(duì)稱陣 . 例 6 設(shè)列矩陣 滿足 ? ?TnxxxX , 21 ?? ,1?XX T.,2,IHHHXXIHnITT???且陣是對(duì)稱矩證明階單位矩陣為證明 ? ?TTT XXIH 2??? ? ?TTT XXI 2??,2 HXXI T ???.是對(duì)稱矩陣H?2HHH T ? ? ?22 TXXI ??? ?? ?TTT XXXXXXI 44 ??? ? ? TTT XXXXXXI 44 ???TT XXXXI 44 ??? .I?例 7 證明任一 階矩陣 都可表示成對(duì)稱陣 與反對(duì)稱陣之和 . n A證明 TAAC ??設(shè)? ?TTT AAC ??則 AA T ? ,C? 所以 C為對(duì)稱矩陣 . ,TAAB ??設(shè) ? ?TTAAB ??則 AA T ?? ,B?? 所以 B為反對(duì)稱矩陣 . 22TT AAAAA ???? ,2BC ?? 命題得證 . 五、小結(jié) 矩陣運(yùn)算 ?????????加法 數(shù)與矩陣相乘 矩陣與矩陣相乘 轉(zhuǎn)置矩陣 對(duì)稱陣與反對(duì)稱矩陣 方陣的行列式 （ 2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè) 矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘 ,且矩陣相乘 不滿足交換律 . （ 1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能 進(jìn)行加法運(yùn)算 . 注意 （ 3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同 . 思考題 問(wèn)等式階方陣為與設(shè) ,nBA? ?? ?BABABA ???? 22成立的充要條件是什么 ? 1. .)2(,21 5AA 求設(shè)????????思考題解答 555 2)2(.2 AA ??解： 5102 A?5102 A?? ? ?? ? ,22 BABBAABABA ???????故 成立的充要條件為 ? ?? ?BABABA ???? 22.BAAB ?510 32 ??練習(xí) (P40) III AA,A)1( 2 ??? 或則若))((BA)2( 2233 BABABA ????? 也是對(duì)稱陣。3 BAAB ? .BAAB ??kk AA ?(4) 對(duì)稱陣與反對(duì)稱矩陣 定義 設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即 那末 稱為 對(duì)稱陣 . A n TAA ?? ?n,j,iaa jiij ?21??A.A 為對(duì)稱陣?yán)???????????6010861612.稱為反對(duì)稱矩陣則矩陣如果 AAA T ??對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等 . 說(shuō)明 注 :設(shè) A,B為 n階對(duì)稱陣 ,則 A+B也是 n階對(duì)稱陣 . 但 AB未必是 n階對(duì)稱陣 .例 TT BBAA ?
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