【正文】 AA~ , ~if A B B A? ；~ , ~ C .if A B B ~ C A?具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系就稱為 等價(jià) ． （ 1）反身性： （ 2）對(duì)稱性： （ 3）傳遞性： 利用 初等 行 變換可把矩陣 化為 行階梯形矩陣 . A利用 初等 行 變換，也可把矩陣化為 行最簡(jiǎn)形矩陣 . 定理 利用初等行變換，再利用初等列變換最后可把矩 陣化為 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 . 三、矩陣的秩 子陣與 階子式 k將矩陣 ? ? nmijaA ?? 的某些行和列劃去（可以只 劃去某些行或列），剩下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的 新矩陣叫做 矩陣 的子矩陣 . A? ?min{ , } ,k m n?2k中，任取 行 列 A k knm?在 矩陣 位于這些行與列交叉處的 個(gè)元素，依照它們?cè)? A中的位置次序不變而得的 階行列式，稱為矩陣 的一個(gè) k定義 定義 Ak 階子式 . nm? 矩陣共有 個(gè) 階子式 . kkmnCC k1最低階為 階， 最高階為 階 . m in { , }mn如：矩陣 1 3 9 30 1 3 42 3 9 6A?????????????取第 1行、第 3行和第 1列、第 4列交叉處的元素， 1262 31 ??二階子式是 組成的 的最高階子式是 3階，共有 4個(gè) 3階子式 . A易見(jiàn) 而在這個(gè)矩陣中 , ? ?9?130123??????????都是矩陣 的子矩陣 . A1 3 9 30 1 3 4????????矩陣的秩 ,mnin A if?定義 0。ji rr ?1( )。sA A A A?1。nnnsAAA???????則 設(shè) ? ?12 ,sB ? ? ?? 則 ? ?12 sAB A ? ? ??? ?12 .sA A A? ? ??slijlmijbBaA????)(,)(其中例 1 設(shè) 1 0 1 01 2 0 1,1 0 4 11 1 2 0B????????????????.AB1 0 0 00 1 0 0,1 2 1 01 1 0 1A??????????????三、應(yīng)用 求 1211001100100001A??????????解 分塊 1,E OA E??? ????1011104121001120B????????????221112,BEBB??? ????則 ?????????????2221111 BBEBEAOEAB .2212111111 ????????? BABBAEB又 21111 BBA ? ?????????????????????? ??110121011121,11 42 ?????????????????????? ???02141121221 BA ,1333 ???????于是 ????????? 2212111111BABBAEBAB1 0 1 01 2 0 1.2 4 3 31 1 3 1????????????????3 4 1 00 2 1 1?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?例 2 設(shè) ?5 2 0 02 1 0 0,0 0 1 20 0 1 1A????????? ?????求 00012110005221 00A??????????????解 12,A OO A??? ????11112,AA OAO??? ??? ????111225 ,A? ???? ?????121213 11 ,A? ??? ?????000000001 3 2 31 3 1 325A??????????????????1 例 3 設(shè) ?1210 0 00 0 0,0 0 00 0 0nnaaAaa????????????求 其中 0,ia ?000000解 12,OAAOA ??? ????111111,naAa?????????????112 ,nAa???11112 ,OO AAA??????????11 1111000,0 00nnaAaa???????????????例 5 設(shè) 3 4 0 04 3 0 0,0 0 2 00 0 2 2A??????????????84,.AA求 解 令 12,AOA OA??? ????123 4 2 0,4 3 2 2AA? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?88 182,AOAOA???????其中 所以 8 8 812A A A? 8812AA? 1610?44 142,AOAOA???????而 221 25 ,5OAO???????441 45 ,5OAO????????2102,11A???????4442 6410 202,41 22A??????????????所以 可求 . 4A稱為矩陣 A的 m 個(gè) 行向量 . nm? 矩陣 A有 m 個(gè)行， 12TTTmA????????????????稱為矩陣 A的 n 個(gè) 列向量 . nm? 矩陣 A 有 n個(gè)列， 四、兩種特殊的分塊法 按行分塊與按列分塊 . 行記作 i ? ?iniiTi aaa , 21 ??? ，則矩陣 A 便記為 若第 列記作 j若第 12jjjmjaaa????????????????，則矩陣 A便記為 ? ?nA ??? ?, 21?對(duì)于線性方程組 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????22112222212111212111若記 ? ?1 1 1 1 1 2 1 12 2 2 1 2 2 2 212, , ,nnijn m m m m n mx b a a a bx b a a a bA a x b Bx b a a a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?其中 稱為 系數(shù)矩陣 ， A稱為 增廣矩陣 . Bx 稱為 未知數(shù)向量 ， b 稱為 常數(shù)項(xiàng)向量 ， 按分塊矩陣的記法，可記 ? ? ? ?12, , , ,nB A b b? ? ???利用矩陣的乘法，此方程組可記作 bAx ?如果把系數(shù)矩陣按行分成 塊，則線性方程組 m bAx ?可記作 1122TTTmmbbxb????? ???? ???? ????? ???? ??????這就相當(dāng)于把每個(gè)方程 ininii bxaxaxa ???? ?2211記作 ),2,1( mibx iTi ???? ? ?1212, , ,nnxxbx? ? ??????? ???????如果把系數(shù)矩陣按列分成 塊，則與 相乘的 相應(yīng) n A x的 應(yīng)分為 塊，從而可記作 n即 bxxx nn ???? ??? ?2211對(duì)于矩陣 與矩陣 的乘積矩陣 ? ?ij msAa ?? ? ?ij snBb ??? ?ij mnA B C c ???，若把 按行分成 塊，把 按列分成 A mnB塊， ? ? .ij mnc ??? ?1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 21212, , ,T T T TnT T T TnnT T T Tm m m m nAB? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?其中 ? ?12121, , ,jsjTij i j i i is ik k jksjbbc b a a a a bb????????? ? ??????????便有 ?????????????????????????????????????????????TmmTTTmTTmnmmAΛ???????????????22112121另外 ：以對(duì)角矩陣 左乘矩陣 時(shí)，把 按行 mΛ nmA? A分塊，有 另外 ：以對(duì)角矩陣 右乘矩陣 時(shí)，把 按列 nΛ nmA? A分塊，有 ? ?????????????????mnnnmΛA????????2121,? ?nn?????? , 2211 ?? 在矩陣?yán)碚摰难芯恐?,矩陣的分塊是一種最基本 ,最重要的計(jì)算技巧與方法 . (1) 加法 (2) 數(shù)乘 (3) 乘法 分塊矩陣之間的運(yùn)算 分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似： 同型矩陣，采同相同的分塊法； 數(shù) 乘矩陣 ，需 乘 的每一個(gè)子塊； k kA A若 與 相乘，需 的列的劃分與 A AB B的行的劃分相一致 . 五、小結(jié) (4) 轉(zhuǎn)置 (5) 分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣 (6) 兩種特殊的分塊法：按行分塊與按列分塊 . 1111。ssABABAB?????????若 ，則有 0iA ?5） 若 1,sAAA?????????1111。sA A A A?1） 1111。是否可逆，如可逆求判斷方陣 1343122321???????????? AA解 6205203213431223212131)2()3( ????? ???????rrrrA? 02 ??可逆A?254266232333231232221131211?????????????AAAAAAAAA又????????????????222563462A即????????????????? ??2225634622111AAA當(dāng) 時(shí)， 稱為 奇異矩陣 ； 0A ? A證