【正文】 。 ? （ 3）繼續(xù)對增廣矩陣施行初等行變換，將它化為行最簡形，寫出該行最簡形矩陣所對應(yīng)的方程組。試寫出其他四個必須滿足的等式， 說明總的方程組是相容的，并求出所有解 解 ?????????????????????11177129232221131211231322122111xxxxxxxxxxxx232221131211 xxxxxx? ??????????????????11111000170001117100100120220109001001bA ?281117 ??287129 ???因?yàn)閭}庫中有商品量共 個單位，提供給三個商店 所列方程組是相容的，由增廣矩陣 總量是 個單位，供需是平衡的， ???????????????????????? ?????11111000111110007100100120220109001001)( 3214 rrrr???????????????? ????? ??????0000000111110007100100120220102110001)1(44541rrrrr????????????????????11712223222123132212232211xxxxxxxxxx取 2322,xx 為自由未知量， 則方程組的解為 ??????????????????????????22312221212131122111117122cxcxccxcxcxccx21,cc 為任意常數(shù) 【 注 】 對于含參數(shù)的矩陣作初等變換時，若需要對某些因式作變換，應(yīng)注意因式可以等于零，必須對因式等于零的情況另作討論 . 求解一般線性方程組可分如以幾步進(jìn)行： ? （ 1）寫出方程組的增廣矩陣。若以 表示從第 i 號倉庫送到第 j 號商店的商品量 )3,2,1。 解 方程組可變形為 ???????????????????????????0)1(0)1(0)1(0)1(4321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx????此方程組為齊次的，對該方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換 ???????????????????1111111111111111????A??????????????????????? ?????1111111111112222413121???????rrrrrr??????????????????? ????11111111111111112??????????????????????? ?????2022020000201111141312???rrrrrr故當(dāng) 2??? ，且 2?? 時，方程組有惟一零解； 當(dāng) 2?? 時， 41)( ??AR ，方程組有無窮多解，即 ??????????????? ??0000000000001111A對應(yīng)的方程組為： 04321 ???? xxxx ，取 432 , xxx為自由未知量，則方程組的解為： ??????????????3423123211cxcxcxcccx其中 321 , ccc可任意取值； 2???當(dāng) 時， ???????????????????3111131111311113A??????????????????? ?? ???3111131111310000413121rrrrrr??????????????????? ?? ?000013111131311141 rr??????????????????? ?? ??00004400404031111312rrrr43)( ??AR ，方程組有無窮多解，對應(yīng)的方程組為： ???????????000434241xxxxxx取 4x 為自由未知量，則方程組的解為： ???????????cxcxcxcx4321其中 c 可任意取值。 時， 推論 設(shè)齊次線性方程組 ???????????????????000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa????????????的系數(shù)矩陣為 A則當(dāng) nAR ?)( 時，方程組有惟一解，即零解； 當(dāng) nAR ?)( 時，方程組有無窮多解，即有非零解。 ?????????????????00000300003045011321方程組的解的情況可以歸結(jié)為： 有惟一解 ，有 無窮多解和 無解 三種情況 定理 線性方程組相容的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。令 cx ?3??????????????3344321xcxcxcx例 討論方程組 ???????????????????????104834822263531324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的解。 如果線性方程組中的方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，并且其系數(shù)矩陣滿秩，那么可有以下三種求解方法： （ 1）克拉默法則；（ 2）逆矩陣；（ 3）高斯消元法。 若用常數(shù) n??? , 21 ? 依次代替方程組中的 nxxx , 21 ?方程組中的 m 個方程均成為恒等式，則稱 nnxxx ??? ??? , 2211 ?為方程組的一個解，并稱列向量 ????????????????nx?????21為線性方程組的解向量，或稱 ??x 是方程 bAx ?的解。 ( ) ( )TR A R A?ATA AAT（ 4） 由于行列式行列互換后其值不變，而 的每一個子式都是 的某個子式的轉(zhuǎn)置，因此 的非零子式的最高階數(shù)與 即矩陣的轉(zhuǎn)置不改變矩陣的秩， 的非零子式的最高階數(shù)相同， 矩陣秩的計(jì)算 1． 用矩陣秩的定義求矩陣秩 例 求矩陣 ??????????????81131433111221A 的秩 解 計(jì)算它的二階子式，因?yàn)? 053121 ????繼續(xù)計(jì)算它的三階子式 0113331221??? 081314311121??? 081314311121??? 081114331122????由于該矩陣共有四個三階子式均為零， 2)( ?AR找到一個二階非零子式則秩大于等于 2 2)( ?BR??????????????00002555011221B例 求矩陣 的秩 解 BB0550 21 ????所以 是一個行階梯形矩陣，它的非零行有 2行，即知 的所有 3階子式全為零，而以兩個非零行的非零首元 為對角線元素的 2階子式 2． 用初等變換求矩陣的秩（此為較常用的方法） 能否利用矩陣的初等變換把一般的矩陣“變成”一個與之同秩的行階梯形矩陣 ??????????????81131433111221A?????????????????? ?? ??25550255501122113123 rrrr??????????????? ?? ?0000255501122123 rr B?2)()( ?? BRAR定理 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若 A B ( ) ( )R A R B?≌ 則 A nm? B mC n推論 設(shè) 是 矩陣， 是 階滿秩矩陣， 是 階滿秩矩陣，則必有 )()()( ACRARBAR ??證 因?yàn)? B 是 m 階滿秩矩陣，所以矩陣 B 可逆 從而 B 可分解為有限個初等矩陣的乘積，于是 BA可視為對矩陣 A 施行有限次初等行變換， 由定理 ， )()( ARBAR ?同理可證 )()( ARACR ?例 求矩陣 ???????????????????????231453312112231B 的秩 解 利用初等行變換化矩陣 B 為行階梯形矩陣： ???????????????????????231453312112231B???????????????????????? ??????46024077055023115141312322rrrrrrrr?????????????????????????? ???46024077022023132rr???????????????????? ?????2002000002202312524233227rrrrrr???????????????????? ????0000002002202314534rrrrC?3)( ?CR因?yàn)? 3)( ?BR所以 例 設(shè)矩陣 ?????