高考理科數(shù)學均值不等式復習資料(參考版)
2024-08-24 14:47本頁面
【正文】 全國版 41 1. 在已知中如果出現(xiàn)兩數(shù)相加等于一個正常數(shù) ， 可聯(lián)想到公式 sin2α+cos2α=1， 進行三角換元 . 2. 含有字母的不等式證明 ， 可以化為一邊為零 ， 而另一邊為某個字母的二次三項式 ，考慮判別式 . 3. 有些不等式 ， 從正面證如果不易說清楚 ， 可以考慮反證法 .凡是有 “ 至少 ”“ 唯一 ”或含有其他否定詞的命題 ， 適宜用反證法 . 。 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 當 x∈ (0， +∞)時， g′(x)＞ 0. 1( ) l n ( 1 ) ( 1 )1g x x x?? ? ，2211( ) .1 ( 1 ) ( 1 )xgxx x x? ??? ? ?立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學 當 x∈ (0， +∞)時， f ′(x)＜ 0. 題型 不等式與函數(shù)的綜合應用 參考題111x ?1 ( ) 1 .11xfxxx? ????立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學 全國版 37 求證： 證明： 令 則 yx2(y+1)x+y+1=0，① (1)當 y=0時，得 x=1，符合題意； (2)當 y≠0時，則①式是關于 x的一元二次方程 . 由 x∈ R，得 Δ=(y+1)24y(y+1)≥0， 解得 1≤y≤ ,且 y≠0. 綜合 (1)(2),得 1≤y≤ ,所以 2 1 1 1 . 1 3xxx???211xy x Rxx??? ， ，1313 2 1 1 1 . 1 3xxx???立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 35 3. 求證： 證明： 令 x∈ R， 則 yx2+yx+y=x2x+1. 于是 (y1)x2+(y+1)x+y1=0.① (1)若 y=1，則 x=0，符合題意； (2)若 y≠1,則①式是關于 x的一元二次方程 . 題型 8 判別式法證不等式 221 13.31xxxx?????2211xxyxx????，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 33 點評： 換元法一般有代數(shù)式的整體換元 、三角換元等換元方式 .換元時要注意新變元的取值范圍 ， 以及換元后的式子的意義 .常用的換元有： 若 x2+y2=a2， 可設 x=acosθ， y=asinθ； 若 可設 x=acosθ， y=bsinθ； 若 x2+y2≤1， 可設 x=rcosθ， y=rsinθ(0≤r≤1). 2222 1xyab?? ，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 31 證明： 假設三條拋物線與 x 軸均無交點， 則方程 cx2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的判別式 Δ1＝ 4 a2－ 4 bc ＜ 0. 同理， Δ2＝ 4 b2－ 4 ac ＜ 0 ， Δ3＝ 4 c2－ 4 ab ＜ 0 ， 則 Δ1＋ Δ2＋ Δ3＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2－ 4 ab － 4 bc － 4 ac ＜ 0 ， 所以 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2＜ 0 ， 這與 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2≥ 0 相矛盾， 故假設不成立 ． 所以三條拋物線中至少有一條與 x 軸有交點 ． 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版 29 點評： 證明有關“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定詞的命題，可采用反證法 .反證法的證題步驟是：反設 —— 推理 ——導出矛盾 (得出結論 ). 所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ＞ ，矛盾 . 故假設不成立，從而原命題成立 . ( 1 ) 1 1( 1 ) .2 4 2? ? ? ?ab ab( 1 ) ( 1 )22b c c a??、 123232立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復習（第一輪） 理科數(shù)學 全國版
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