【正文】 全國版 58 1. 在已知中如果出現(xiàn)兩數(shù)相加等于一個正常數(shù) ， 可聯(lián)想到公式 sin2α+cos2α=1， 進行三角換元 . 2. 含有字母的不等式證明 ， 可以化為一邊為零 ， 而另一邊為某個字母的二次三項式 ，考慮判別式 . 3. 有些不等式 ， 從正面證如果不易說清楚 ， 可以考慮反證法 .凡是有 “ 至少 ”“ 唯一 ”或含有其他否定詞的命題 ， 適宜用反證法 . 。 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 當 x∈ (0， +∞)時， g′(x)＞ 0. 1( ) l n ( 1 ) ( 1 )1g x x x?? ? ，2211( ) .1 ( 1 ) ( 1 )xgxx x x? ??? ? ?立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 當 x∈ (0， +∞)時， f ′(x)＜ 0. 題型 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用 參考題111x ?1 ( ) 1 .11xfxxx? ????立足教育 開創(chuàng)未來 理科數(shù)學(xué) 全國版 54 求證： 證明： 令 則 yx2(y+1)x+y+1=0，① (1)當 y=0時，得 x=1，符合題意； (2)當 y≠0時，則①式是關(guān)于 x的一元二次方程 . 由 x∈ R，得 Δ=(y+1)24y(y+1)≥0， 解得 1≤y≤ ,且 y≠0. 綜合 (1)(2),得 1≤y≤ ,所以 2 1 1 1 . 1 3xxx???211xy x Rxx??? ， ，1313 2 1 1 1 . 1 3xxx???立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 52 3. 求證： 證明： 令 x∈ R， 則 yx2+yx+y=x2x+1. 于是 (y1)x2+(y+1)x+y1=0.① (1)若 y=1，則 x=0，符合題意； (2)若 y≠1,則①式是關(guān)于 x的一元二次方程 . 題型 8 判別式法證不等式 221 13.31xxxx?????2211xxyxx????，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 50 點評： 換元法一般有代數(shù)式的整體換元 、三角換元等換元方式 .換元時要注意新變元的取值范圍 ， 以及換元后的式子的意義 .常用的換元有： 若 x2+y2=a2， 可設(shè) x=acosθ， y=asinθ； 若 可設(shè) x=acosθ， y=bsinθ； 若 x2+y2≤1， 可設(shè) x=rcosθ， y=rsinθ(0≤r≤1). 2222 1xyab?? ，立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 48 證明： 假設(shè)三條拋物線與 x 軸均無交點， 則方程 cx2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的判別式 Δ1＝ 4 a2－ 4 bc ＜ 0. 同理， Δ2＝ 4 b2－ 4 ac ＜ 0 ， Δ3＝ 4 c2－ 4 ab ＜ 0 ， 則 Δ1＋ Δ2＋ Δ3＝ 4 a2＋ 4 b2＋ 4 c2－ 4 ab － 4 bc － 4 ac ＜ 0 ， 所以 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2＜ 0 ， 這與 2 ( a － b )2＋ 2 ( b － c )2＋ 2 ( c － a )2≥ 0 相矛盾， 故假設(shè)不成立 ． 所以三條拋物線中至少有一條與 x 軸有交點 ． 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 46 點評： 證明有關(guān)“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定詞的命題，可采用反證法 .反證法的證題步驟是：反設(shè) —— 推理 ——導(dǎo)出矛盾 (得出結(jié)論 ). 所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ＞ ，矛盾 . 故假設(shè)不成立，從而原命題成立 . ( 1 ) 1 1( 1 ) .2 4 2? ? ? ?ab ab( 1 ) ( 1 )22b c c a??、 123232立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 44 題型 6 用反證法證不等式 1. 已知 a、 b、 c∈ (0， 1)， 求證： (1a)b， (1b)c， (1c)a不能同時大于 . 證法 1： 假設(shè)三式同時大于 ， 即有 (1a)b＞ ， (1b)c＞ ， (1c)a＞ , 三式同向相乘，得 (1a)a(1b)b(1c)c＞ . 1414141414164立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 42 1. 分析法的思維是逆向思維 ， 它能增大思維的發(fā)散量 ， 克服思維定勢的消極影響 ， 有利于發(fā)展求異思維 .證題時應(yīng)注意書寫格式 . 2. 放縮是一種證題技巧 ， 要想用好它 ， 必須有目標 ， 目標可以從要證的結(jié)論中考察 . 立足教育 開創(chuàng)未來 高中總復(fù)習(xí)（第一輪） 理科數(shù)學(xué) 全國版 40 已知函數(shù) f(x)=lg( 1)， x∈ (0， )，若 x1，x2∈ (0， )，且 x1≠x2. 求證： ［ f(x1)+f(x2)］＞ 證明： 因為 題型 用函數(shù)單調(diào)性證不等式 參考題1x121212 12( ) .2xxf?21 2 1 221 2 1 2221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )1 1 1 4 4 0 ,( ) ( )x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x?? ? ? ?? ?