不等式的證明(參考版)
2024-11-14 05:07本頁面
【正文】 不 等 式 的 證 明 松北高級中學(xué) 吳宏亮 【 例 1】 已知 a0， b0， 求證：a3+b3≥a2b+ab2.(課本 P12例 3) 即 a3+b3≥a2b+ab2. 證明一： 比較法（作差） （ a3+b3） （ a2b+ab2） =（ a3 a2b） +（ b3ab2） =a2(ab)+b2(ba) ∵a0 ， b0， ∴ ( ab)2(a+b)≥0. 故（ a3+b3） （ a2b+ab2） ≥0, ∴ a+b0，而 ( ab)2≥0. =( ab)2(a+b). =(ab)( a2b2) 故 a3+b3≥a2b+ab2. 2233abbaba??證明二： 比較法（作商） ∵ a2+b2≥ 2ab， ∴ ababab2 ??ababba 22 ???)ba(ab)abba)(ba( 22?????1?又 a0， b0，所以 ab0， 所以有 a3+b3≥a2b+ab2. 證明三：分析法 欲證 a3+b3≥a2b+ab2， 只需證明 (a+b)(a2+b2ab)≥ab(a+b). 由于 a0， b0， 所以 a+b0， 故只要證明 a2+b2ab≥ab即可。 即 證明 a2+b2≥ 2ab. 而 a2+b2≥ 2ab 顯然是成立的 即 a3+b3≥a2b+ab2. 證明四：綜合法 ∵ a2+b2≥ 2ab， ∴ a2+b2ab≥ab. 又 ∵ a0， b0， ∴ a+b0， 故 (a+b)(a2+b2ab)≥ab(a+b). 【 例
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