【正文】 當(dāng)n=1,12√n已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當(dāng)n1時(shí),f(2^n)n+2/2(1)n=2時(shí)代入成立(2)假設(shè)n=a時(shí)候成立則n=a+1時(shí)f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))后面相同項(xiàng)一共有2^a個(gè)所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2因?yàn)閒(2^a)(a+2)/2故上面大于/2因此n=a時(shí)上式成立的話n=a+1也成立1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2“1/2^2”指2的平方分之1證明：數(shù)學(xué)歸納法：∵當(dāng)n=2時(shí)有1/2^2=1/42∴符合原命題。)總結(jié)，結(jié)論成立，一般只要寫顯然成立。叫做積分不等式性數(shù)學(xué)歸納法不等式的做題思路：n等于最小的滿足條件的值，說明一下這時(shí)候成立，一般我們寫顯然成立，無(wú)須證明假設(shè)n=k的時(shí)候成立，證明n=k+1的時(shí)候也是成立的，難度在這一步。n=ab因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0因?yàn)?=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)2所以n=m323m將②代入①得m2－4(m2323m)≥0，3即m+83m≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m 得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，從而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）33證法四：因?yàn)閍+b2(a+b32)224aba2b2=(a+b)[4a+4b2ab])(ab)28=3(a+b8≥0，所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有a3+b32≥(a+b32)3b333因?yàn)閍＞0，b＞0，a+=2，所以1=a+ba+b32≥(2)，∴a+b2≤1，即a+b≤2，(以下略）證法五：假設(shè)a+b＞2，則①②本資料從網(wǎng)上收集整理a+b=(a+b)(a－ab+b)=(a+b)［(a+b)－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，又a+b=(a+b)［a－ab+b］=(a+b)［(a+b)－3ab］＞2(2－3ab)因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，故a+b≤2(以下略)332233222第五篇：歸納法證明不等式歸納法證明不等式由于lnx0則x1設(shè)f(x)=xlnxf39。236。(m－i+1)，AmmiiAmmm1mi+1nn1ni+1=L,同理=L，immmnnnnnknmkmi由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，?，i－1，有Annii，所以Ammii,即mAnnAmiiii(2)由二項(xiàng)式定理有：2n2n(1+m)n=1+C1nm+Cnm+?+Cnm，2mm(1+n)m=1+C1mn+C2mn+?+Cmn，本資料從網(wǎng)上收集整理ii由(1)知miAi＞niAi(1＜i≤miAmnm，而Cm=i!,Cin=Ani!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m0∵上式顯然成立，∴：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m2xyz+2xyz+2xyz2222222222219。2(xy+yz+zx)+4(xyz+xyz+xyz)219。2(xy+yz+zx)219。2(xy+yz+zx)22219。0b+cc+aba+bcz179。+z162。13c+323(a+b+c)+92=63a+2+12,3b+2,3c+23c+23a+2+3b+2+∴：3a+2+3b+2+33c+2163。(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞：ad＞bc：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜：m＜p＜q＜n二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313=13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥222證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥a+b+c32222a+b+c3證法三：∵∴a2+b2+c2≥179。 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、：令ax=cos2θ，by=sin2θ，則x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2atan2qbcot2q=a+b+：a+b+2ab：由0≤|a－d|＜|b－c|219。24sin2a254。11244sin2a179。253。22(4sin2a)25239。41=+16179。254證法五：(三角代換法）∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，p2)本資料從網(wǎng)上收集整理(a+=1a4)(b+1b)=(sina+4221sina22)(cos2a+1cosa222)2sina+cosa2sinacosa+24sin2a222=(4sina)+164sin2aQsin2a163。ab238。 1179。237。(1ab)179。162\1ab179。239。25236。239。222。179。0ab4ab44ab4ab 1125\(a+)(b+)179。2+t2)+11214+t21412+t2+t2+1)+t2)2212+t1)(22(=14+t1+t1+1)(14+t2+t2+1)=2(54+t2)t214t22t2425=16+1432t2+t2222525179。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.第四篇：不等式證明1本資料從網(wǎng)上收集整理難點(diǎn)18 不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.●難點(diǎn)磁場(chǎng)(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究［例1］證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N)*命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★：本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：這樣只注重形式的統(tǒng)一，：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+12131k+11k+112+13+L+1k＜2k，則1+++L+2k+=2k(k+1)+1k+1k+(k+1)+1k+1=2k+1,∴當(dāng)n=k+1時(shí)，(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+12+13+L+1n＜+1時(shí)的證明還有下列證法：Q2(k+1)12k(k+1)=k2k(k+1)+(k+1)=(kk+1)0,2\2k(k+1)+12(k+1),Qk+10,\2k+1k+12k++1+k2k+1+k+1=1k+1，又如:Q2k+12k=本資料從網(wǎng)上收集整理\2k+1k+12k+：對(duì)任意k∈N*，都有：1k=2k+12+k132k++L+k11n=2(kk1)，2)+L+2(nn1)=+2+2(21)+2(312131n證法三：設(shè)f(n)=2n(1+*++L+)，那么對(duì)任意k∈N 都有：f(k+1)f(k)=2(k+1=1k+11k+1k)1k+1[2(k+1)2k(k+1)1](k+1k+1k)20=[(k+1)2k(k+1)+k]=∴f(k+1)＞f(k)因此，對(duì)任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴1+12+13+L+1n+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使x+y≤a命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于★★★★★：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最