【正文】 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。(1+n)123n1111+++L++n123n 219。L,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。An163。0，此處可以把0理解為(x1+x2+x3)，（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數(shù)a1,a2,Lan)調(diào)和平均Hn=n111++L+a1a2an 幾何平均Gn=na1a2Lan 算術(shù)平均An=a1+a2+L+ann22a12+a2+L+an平方平均Qn=2這四個平均值有以下關(guān)系：Hn163。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4+b4179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。2ab,同理b2+c3179。a2b+b2c+c2a=aab+bbc+cca179。1++L+2222n23n所以a1+評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。2,L,bn179。b+++L+122222n2323nb3bnb11故b1179。b179。b179。b179。179。a2+b2+c2（逆序和），同理a2+b2+c2（亂序和）abccab111179。179。a2+b2+c2179。++179。a2a+b2b+c2ca2b2c2111111179。R+時,a3+b3+c3179。a1bj1+a2bj2+L+anbjn（亂序和）179。L163。an,b1163。a2163。algb+blgc+clga179。+blgb179。0,則lga179。b179。caac，另aabbcc179。abba，同理bbcc179。(a1a2Lan)a1+a2+L+ann.（3）本題還可用其他方法得證。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。b179。2bc,c2+a2179。ab+bc+ca時，可將a2+b21(ab+bc+ca)配方為[(ab)2+(bc)2+(ca)2]，亦可利用a2+b2179。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。256a2b2c3(a,b,c0)時，+b2a2+b2)163。2ca；：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、++L+179。2ab,同理b2+c3179。7．利用排序不等式證明Gn163。ab+bc+．已知a+b=1,a,b179。N*，且各不相同，求證：1+++L+12131aa3an163。R,求證a+b+c163。(abc)+b2b2+c2c2+a2a3b3c3++163。|a1|+|a2|+L+|an|.ab,ad 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，具體地證明一個不等式時， 1．a(chǎn),b,c0,求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。b|163。a.（3）||a||b||163。x179。x2179。a.（2）|x|179。a163。x2163。含絕對值不等式的性質(zhì)：（1）|x|163。a+cb+d.（3）ab,cd222。N*).對兩個以上不等式進(jìn)行運算的性質(zhì).（1）ab,bc222。acbc.（4）ab0222。acbc。ba（對稱性）（2）ab219。ab0,ab219。14不等式的證明不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a179。abc≥。1a)(b+1b)2541a+1b+1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義12(a+b)2+14(a+b)≥aa+ba。bab+ba。n1若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n2）的大小關(guān)系是________________。若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。中天教育咨詢電話：04768705333第4頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考2013年數(shù)學(xué)VIP講義設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12+1b1a≤+141b B、≤1 D、141a≤+1a+1b≤≤1b≥1已知a，b，c均大于1，且logac當(dāng)a0時，g(x)在[1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)f(0)≤|f(1)f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(1)=a+b=f(0)f(1)=[f(1)f(0)]≥|f(1)f(0)|≥[|f(1)|+|f(0)|]≥2 ∴2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a思路二：直接利用絕對值不等式為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進(jìn)行討論。從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時，|f(1)|≤1；當(dāng)x=1時，|f(1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(1)化作已知量，去表示待求量。an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。a2177。這是一個與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥a，||a||b||