【正文】 3個(gè)（B）4個(gè)（C）5個(gè)（D）6個(gè) 2．填空題（1）5422(2)?A?10的整數(shù)A的個(gè)數(shù)是x10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x51y=、y、z滿足．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？5．．．求滿足條件的整數(shù)x，．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米、m厘米，斜邊長(zhǎng)為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，：2（l+m+n）、q、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y7),令y=7可得x=?y?z,則,故x??=2,則,故y?,故y?=4,則z==5,則z==6,=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方法.．．略解：a2+b2179。2bc,c2+a2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。（2）基本不等式有各種變式如(，≡8(mod37),∴888833332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|3+77773333≡(8+7)(mod37),而:原方程變形為3x(3y+7)x+3y7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(nm).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞nm＞0,∴n+m=l,nm==n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)≠q,不妨設(shè)p＞(4mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程例題答案：：Qab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc=a(b2+c22bc)+b(a2+c22ac)+c(a2+b22ab)=a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2179。評(píng)述：（1）本題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，+b2+c2179。2ab，2b2+c2179。2ca，3式相加證明.（2）：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，,b,c對(duì)稱，不妨a179。c,則ab,bc,ac206。：（1）證明對(duì)稱不等式時(shí)，不妨假定n個(gè)字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai0(i=1,2,L,n),則a11a22Lanaaan179。因aabb179。bccb,ccaa179。aabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a179。c179。lgb179。algb+blga,類似例4可證alga+blgb+clgc179。algc+blgb+，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組a1163。L163。b2163。bn，則a1b1+a2b2+L+anbn（順序和）179。a1bn+a1bn1+L+anb1（逆序和）其中j1,j2,L,jn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=（其證明略），,b,c206。a2b+b2c+c2a219。ab+bc+ca。a+b+c219。a2+b2+c2：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開，179。則a2+b2+c2（亂序和）cbacab111111179。a2+b2+c2（逆序和）兩式相加再除以2，179。組a179。c及，222不妨設(shè)a179。c,則a179。c,：不等式右邊各項(xiàng)ai1=a；可理解為兩數(shù)之積，,b2,L,bn是a1,a2,L,an的重新排列，滿足b1b2Lbn，又1111L.,b2,Lbn是互不相同的正整數(shù)，++L+179。1,b2179。+2，原式得證.++L+179。ab+ba，a3+b3+c3179。abc+bac+cab=：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方．．+b2179。2bc,c2+a2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。.右側(cè)的可理解為(x1+x2+x3).再如已知x1+x2+x3=0，3332+x3x1163。Gn163。Qn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。n,即1179。 評(píng)述::原不等式等價(jià)于n+1(1+)1+平均，+11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何n+111111n+21(1+)n=(1+)L(1+)1(1+)L(1+)+1==1+.n+1nnnnnn+1n+114424431442443n個(gè)n+1 評(píng)述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，(1+1n+11n+2)(1+).nn+1（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，:先證左邊不等式111++L+219。(1+n)nn111(1+1)+(+1)+(+1)+L+(+1)123n 219。n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219