【正文】 的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組(2)在0,1,2,?，50這51個(gè)整數(shù)中，能同時(shí)被2，3，4整除的有（）.（A）3個(gè)（B）4個(gè)（C）5個(gè)（D）6個(gè) 2．填空題（1）5422(2)?A?10的整數(shù)A的個(gè)數(shù)是x10+1，則x的值(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y被7除時(shí)余數(shù)為________.(4)求出任何一組滿足方程x51y=、y、z滿足．在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？5．．．求滿足條件的整數(shù)x，．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為l厘米、m厘米，斜邊長(zhǎng)為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，：2（l+m+n）、q、都是整數(shù)，并且p＞1，q＞1，試求p+.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y7),令y=7可得x=?y?z,則,故x??=2,則,故y?,故y?=4,則z==5,則z==6,=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方法.．．略解：a2+b2179。2bc,c2+a2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。（2）基本不等式有各種變式如(，≡8(mod37),∴888833332222≡8(mod37).222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|3+77773333≡(8+7)(mod37),而:原方程變形為3x(3y+7)x+3y7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數(shù)可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l(xiāng)=(n+m)(nm).∵l為質(zhì)數(shù),且n+m＞nm＞0,∴n+m=l,nm==n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)≠q,不妨設(shè)p＞(4mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程例題答案：：Qab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc=a(b2+c22bc)+b(a2+c22ac)+c(a2+b22ab)=a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2179。評(píng)述：（1）本題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在因式分解或配方時(shí)，+b2+c2179。2ab，2b2+c2179。2ca，3式相加證明.（2）：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，,b,c對(duì)稱，不妨a179。c,則ab,bc,ac206。：（1）證明對(duì)稱不等式時(shí)，不妨假定n個(gè)字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai0(i=1,2,L,n),則a11a22Lanaaan179。因aabb179。bccb,ccaa179。aabbcc，4式相乘即得證.（4）設(shè)a179。c179。lgb179。algb+blga,類似例4可證alga+blgb+clgc179。algc+blgb+，一般地有排序不等式（排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組a1163。L163。b2163。bn，則a1b1+a2b2+L+anbn（順序和）179。a1bn+a1bn1+L+anb1（逆序和）其中j1,j2,L,jn是1,2,L,=a2=L=an或b1=b2=L=（其證明略），,b,c206。a2b+b2c+c2a219。ab+bc+ca。a+b+c219。a2+b2+c2：中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開，179。則a2+b2+c2（亂序和）cbacab111111179。a2+b2+c2（逆序和）兩式相加再除以2，179。組a179。c及，222不妨設(shè)a179。c,則a179。c,：不等式右邊各項(xiàng)ai1=a；可理解為兩數(shù)之積，,b2,L,bn是a1,a2,L,an的重新排列，滿足b1b2Lbn，又1111L.,b2,Lbn是互不相同的正整數(shù)，++L+179。1,b2179。+2，原式得證.++L+179。ab+ba，a3+b3+c3179。abc+bac+cab=：左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對(duì)稱性，可用輪換的方．．+b2179。2bc,c2+a2179。x1+x2+L+xn，可在不等式兩邊同時(shí)加上x2x3x1x2+x3+L+xn+(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3179。（2）基本不等式有各種變式如(，：不等式左邊是a、b的4次式，+b179。(a+b)：（1）+x2+x3=1,xi179。.右側(cè)的可理解為(x1+x2+x3).再如已知x1+x2+x3=0，3332+x3x1163。Gn163。Qn，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=: 令bi=ai,(i=1,2,L,n)則b1b2Lbn=1，故可取x1,x2,Lxn0，使得 Gnb1=xxx1x,b2=2,L,bn1=n1,bn=n由排序不等式有： x2x3xnx1b1+b2+L+bn=xx1x2++L+n（亂序和）x2x3x1111+x2+L+xn（逆序和）x1x2xn 179。n,即1179。 評(píng)述::原不等式等價(jià)于n+1(1+)1+平均，+11nn1，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何n+111111n+21(1+)n=(1+)L(1+)1(1+)L(1+)+1==1+.n+1nnnnnn+1n+114424431442443n個(gè)n+1 評(píng)述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，(1+1n+11n+2)(1+).nn+1（2）本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證，:先證左邊不等式111++L+219。(1+n)nn111(1+1)+(+1)+(+1)+L+(+1)123n 219。n1+n(*)nn[(1+n)1]1+2+1n1n1+111++L+23nn 34n+1++L+23nn2+3+4+L+n+1=nn+ \（*）式成立，1111+++L+n(n1)nn123n1 219。n1123n n1nn112n1++L+123n（**）219。b+1b(=14+t1+t1+1)((222+t1)+112+t12180。16=.144t2顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=證法三：(比較法）12時(shí)，等號(hào)成立.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤1125222214a+1b+1254ab+33ab+8(14ab)(8ab)(a+)(b+)===179。ab4證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤(1ab)+125239。 253。ab4239。254。2(1ab)+1179。139239。1=222。222。4416239。4239。即(a+1a)(b+1b)179。1,\4sin2a179。25252。179。222。239。即得(a+1a)(b+1b)179。(a－d)2＜(b－c)2219。a+b+c3∴a2+b2+c2≥13證法四：設(shè)a=+α，b=13+β，c=13+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a+b+c=（22213+α)+（213+β)+（213+γ)本資料從網(wǎng)上收集整理==1313+23(α+β+γ)+α+β+γ13222 +α2+β2+γ2≥13∴a2+b2+c2≥(2)證法一:Q同理\3a+2=3b+32(3a+2)180。(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)3=3(a+b+c)+63=3∴3a+2+3b+2+3c+2≤33＜6 ∴：由x+y+z=1，x2+y2+z2=次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x+1212，得x2+y2+(1－x－y)2=12，整理成關(guān)于y的一元二=0，∵y∈R，故Δ≥012∴4(1－x)2－42(2x2－2x+同理可得y，z∈［0，證法二：設(shè)x=于是==1313121323)≥0，得0≤x≤23，∴x∈［0，23］］132+x′，y=2+y′，z=13132+z′，則x′+y′+z′=0，=(13+x′)+（13+y′)+（23+z′)+x′2+y′2+z′2+222(x′+y′+z′)13+x′+y′+z′≥2+x′+132(y162。)22=13+2332x′223故x′≤19，x′∈［－，13］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］12證法三：設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x2＞0，=x2+y2+z2≥本資料從網(wǎng)上收集整理x+2(y+z)22=(1x)22+x=232xx+212＞12，、y、z三數(shù)中若有最大者大于x+2，不妨設(shè)x＞23，則12=x2+y2+z2≥(y+z)22=x+232(1x)22=1223232x2－x+=32x(x－)+12＞；矛盾.］c+abcby+22故x、y、z∈［0，6.(1)證明:Q=(=(\bax+baaxx+22b+c22x+a+bc2z2(xy+yz+zx)accaz+222aby2xy)+(aby)+(y+2y+bc2bcz2yz)+(2cax2zx)2cbyz)+(aczx)179。2(xy+yz+zx)(2)證明:所證不等式等介于xyz(222y+zx+z+xy+x+yz)179。xyz[yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)]179。(x+y+z)(yz+yz22222222+zx+zx222+xy+xy)2222179。yz+yz+zx+zx+xy+xy22333333179。yz(yz)+zx(zx)+xy(xy)+x(yz)+y(zx)+z(xy)179。?n，m2C2n＞n2C2m，?，mmCmn＞nmCmm，mm+1Cm+1n＞0，?，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+?+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+?+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?ab≤a+b≤2，所以ab≤：設(shè)a、b為方程x2－mx+n=0的兩根，則a+b237。m=