【正文】 金華十校聯(lián)考 ] 有一批材料可以建成 200 m長的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個面積相等的矩形 ( 如圖 3 2 － 1所示 ) ，則圍成場地的最大面積為 ________( 圍墻的厚度不計 ) ． 圖 3 2 － 1 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 [ 思路 ] 根據(jù)可用材料，設(shè)出矩形的一個邊長，用這個邊長表示另一個邊長，建立矩形面積關(guān)于這個邊長的函數(shù)，使用基本不等式求最值；或者設(shè)出矩形的兩個邊長 a ， b ，則 a ， b滿足一定的條件，在這個條件下求 ab 的最大值． 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 2500 m2 [ 解析 ] 方法 1. 設(shè)所圍場地的長為 x ，則寬為200 － x4，其中 0 x 200 ，場地的面積為 x 200 － x4≤14????????x ＋ 200 － x22＝ 2500 m2，等號當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 100 時成立． 方法 2. 設(shè)矩形的長、寬分別為 a 、 b ，則 a ＋ 4 b ＝ 200 ，根據(jù)基本不等式得 2 a 2a＝ 2 2 ，等號當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ 2 時成立． 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 方法 3 ：設(shè) t ＝ a ＋ 2 b ，則 a ＝ t － 2 b ，代入 ab ＝ 1 得 2 b2－ tb ＋ 1 ＝ 0 ，由于 b 是實(shí)數(shù)，故 Δ ＝ t2－ 8≥0 ，解得 t ≤ － 2 2 ( 舍去 ) ，或 t ≥2 2 ，故所求的最小值是 2 2 . (2) a2＋1ab＋1a （ a － b ）＝ a2－ ab ＋ ab ＋1ab＋1a （ a － b ）＝ab ＋1ab＋ a ( a － b ) ＋1a （ a － b ）≥2 ＋ 2 ＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) ab ＝ 1 ， a ( a － b ) ＝ 1 ，即 a ＝ 2 ， b ＝22時等號成立． ? 探究點(diǎn) 2 利用基本不等式證明不等式 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 例 2 (1) [2022 金華十校模擬 ] 正數(shù) a ， b 滿足 ab ＝ 1 ，則 a ＋ 2 b 的最小值是 ( ) A. 2 B ． 2 2 C.32 D ． 3 (2) [2022 重慶卷 ] 已知 x 0 ， y 0 ， x ＋ 2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ，則 x ＋ 2 y 的最小值是 ( ) A ． 3 B ． 4 C. 92 D. 112 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 (1) D (2) B [ 解析 ] (1) 已知條件即 x ＋ 3 y ＝ 1 ， 故1x＋1y＝ ( x ＋ 3 y )??????1x＋1y＝ 4 ＋3 yx＋xy≥4 ＋ 23 yx 廣東卷 ] 某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐，已知一個單位的午餐含 12 個單位的碳水化合物， 6 個單位的蛋白質(zhì)和 6 個單位的維生素 C ；一個單位的晚餐含 8 個單位的碳水化合物， 6 個單位的蛋白質(zhì)和 10 個單位的維生素 C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含 64 個單位的碳水化合物， 42 個單位的蛋白質(zhì)和 54 個單位的維生素 C. 如果一個單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是 元和 4 元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？ 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 [ 解答 ] 設(shè)應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂 x 個單位的午餐， y 個單位的晚餐，所花的費(fèi)用為 z ，則依題意得 x ， y 滿足條件????????? 12 x ＋ 8 y ≥ 64 ，6 x ＋ 6 y ≥ 42 ，6 x ＋ 10 y ≥ 54 ，x ∈ N ，y ∈ N ，即????????? 3 x ＋ 2 y － 16 ≥ 0 ，x ＋ y － 7≥ 0 ，3 x ＋ 5 y － 27 ≥ 0 ，x ∈ N ，y ∈ N ， 目標(biāo)函數(shù)為 z ＝ x ＋ 4 y ，作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域 ( 圖略 ) ，把 z ＝ x ＋ 4 y 變形為 y ＝－58x ＋z4，得到斜率為－58，在 y 軸上的截距為z4，隨 z 變化的一組平行直線． 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 由圖可知，當(dāng)直線 y ＝－58x ＋z4經(jīng)過可行域上的點(diǎn) M ( 即直線 x ＋ y － 7 ＝ 0 與直線 3 x ＋ 5 y － 27 ＝ 0 的交點(diǎn) ) 時截距最小，即 z最?。? 解方程組????? x ＋ y － 7 ＝ 0 ，3 x ＋ 5 y － 27 ＝ 0 ，得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 4,3 ) ， 所以 zm i n＝ 22. 答：要滿足營養(yǎng)要求，并花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂 4 個單位的午餐， 3 個單位的晚餐，所花的費(fèi)用最少，且最少費(fèi)用為 22 元． 規(guī)律總結(jié) 第 31講 │ 規(guī)律總結(jié) 1 ．二元一次不等式組所確定的平面區(qū)域是不等式組中各個不等式所表示的半平面區(qū)域的公共部分，畫出平面區(qū)域的關(guān)鍵是把各個半平面區(qū)域確定準(zhǔn)確，其基本方法是 “ 直線定界、特殊點(diǎn)定域 ” ． 第 31講 │ 規(guī)律總結(jié) 2 ．給定平面區(qū)域求解一些非線性目標(biāo)的最值或范圍時，要根據(jù)解析幾何知識確定求解目標(biāo)的幾何意義，結(jié)合解析幾何知識解決問題，適當(dāng)變換求解目標(biāo)可以使其幾何意義更加明確、或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決． 第 31講 │ 規(guī)律總結(jié) 3 ．線性規(guī)劃問題是在約束條件是線性的、目標(biāo)函數(shù)也是線性的情況下的一類最優(yōu)問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標(biāo)函數(shù)只有在可行域的頂點(diǎn)或者邊界上取得最值，在解答選擇題或者填空題時可以根據(jù)可行域的頂點(diǎn)直接進(jìn)行檢驗(yàn)． 4 ．含有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題其關(guān)鍵是找到制約求解目標(biāo)的兩個變量，用這兩個變量建立可行域和目標(biāo)函數(shù)，在解題時要注意題目中的各種相互制約關(guān)系，列出全面的制約條件和正確的目標(biāo)函數(shù)． 第 32講 │ 基本不等式 ab ≤ a ＋ b2 第 32講 基本不等式 ab ≤a ＋ b2 知識梳理 第 32講 │ 知識梳理 1 ．公式 a2＋ b2≥2 ab 中 a 、 b 的條件是 ____ ____ ，當(dāng)且僅當(dāng) ________ 時等號成立．公式a ＋ b2≥ ab 中， a ， b 的條件是_ ___ _____ ，當(dāng)且僅當(dāng) ________ 時等號成立． 2 ．若 a ， b ∈ R ＋ ，則2 aba ＋ b、 ab 、a ＋ ba2＋ b22的大小 關(guān)系是 ____ _______ _____ _____________( 由小到大 ) ． a， b∈ R a＝ b a ， b∈ R ＋ a＝ b 2 aba ＋ b ≤ ab ≤a ＋ b2 ≤a 2 ＋ b 22 第 32講 │ 知識梳理 3 ．若 a ， b ∈ R ＋ ，且 a ＋ b ＝ P ( P 為常數(shù) ) ，則 ab 存在最 ____值為 ________ ；若 a ， b ∈ R ＋ ，且 ab ＝ S ( S 為常數(shù) ) ，則 a ＋ b存在最 ____ 值為 ______ ． 4 ． 應(yīng) 用 基 本 不 等式 求 函 數(shù)最 值 應(yīng)滿 足 的條 件 是________ ____________ ____ ． 大 P24 小 2 S 一正、二定、三相等 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 1 利用基本不等式求最值 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 例 1 (1 )[2 010 陜西卷 ] 鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a ，冶煉每萬噸鐵礦石的 CO2的排放量 b 及每萬噸鐵礦石的價格 c 如下表： a b ( 萬噸 ) c ( 百萬元 ) A 50 % 1 3 B 70 % 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn) 1 .9 萬噸鐵，若要求 CO2的排放量不超過 2 萬噸，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為 __ ______ 百萬元． 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 15 [ 解析 ] 可設(shè)需 A 礦石 x 萬噸， B 礦石 y 萬噸，則根據(jù)題意得到可行域?yàn)椋??????? x ≥0 ，y ≥0 ， x ＋ y ≥ ，x ＋ y ≤ 2.又 z ＝ 3 x ＋ 6 y 為目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過 ( 1,2) 點(diǎn)時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為 zm i n＝ 3 1 ＋ 6 2 ＝ 15. 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 [ 2022 浙江卷 ] 若實(shí)數(shù) x 、 y 滿足不等式組????? x ＋ 3 y － 3≥0 ，2 x － y － 3≤0 ，x － y ＋ 1≥0 ，則 x ＋ y 的最大值為 ( ) A ． 9 B ． 7 C ． 1 D.715 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 (2) [2022 北京 卷 ] 設(shè)不等式組????? x ＋ y － 1 1≥0 ，3 x － y ＋ 3≥0 ，5 x － 3 y ＋ 9≤ 0表示的平面區(qū)域?yàn)?D ，若指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象上存在區(qū)域 D上的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 ( ) A ． (1,3] B ． [2 ,3] C ． (1,2] D ． [3 ，＋ ∞) [ 思路 ] 畫出平面區(qū)域，看什么情況下指數(shù)函數(shù)的圖象有經(jīng)過這個平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，找到臨界條件即可得到 a 的取值范圍． 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 A [ 解析 ] 作出不等式組????? x ＋ y － 1 1≥ 0 ，3 x － y ＋ 3 ≥ 0 ，5 x － 3 y ＋ 9 ≤ 0所表示的平面區(qū)域 D ，如圖陰影部分所示，要使指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象上存在區(qū)域 D 上的點(diǎn)，則有 a 1 ，當(dāng)指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象過點(diǎn) B ( 2,9)時相應(yīng)的 a 值最大，此時 a ＝ 3 ，即 a ∈ ( 1,3 ] ． ? 探究點(diǎn) 2 平面區(qū)域和解析幾何、函數(shù)問題的綜合 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 例 2 ( 1) [ 2022 浙江卷 ] 某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá) 3860 萬元，預(yù)測六月份銷售額為500 萬元，七月份銷售額比六月份遞增 x % ，八月份銷售額比七月份遞增 x % ，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá) 700 0 萬元，則 x 的最小值是________ ． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 20 [ 解析 ] 由 題 意 可 得 ： 38 6 0 ＋ 5 00 ＋??????500??????1 ＋ x % ＋ 500 ( 1 ＋ x % )2 2 ≥ 7000 ，解得 x ≥ 20( 負(fù)值舍去 ) ，所以 x 的最小值是 20. 規(guī)律總結(jié) 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 1 ．一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)是緊密相連的．二次函數(shù)的圖象從 “ 形 ” 上反映了一元二次方程的根和一元二次不等式解的情況，一元二次方程的根和一元二次不等式的解從 “ 數(shù) ” 上反映了二次函數(shù)圖象的位置．在解決一元二次不等式問題時，要注意從函數(shù)與方程思想的角度考慮問題． 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 2 ．一元二次不等式在指定范圍的恒成立 ( 或者不等式在指定范圍的恒成立 ) ，其本質(zhì)是這個不等式的解集包含著指定的區(qū)間．解決這類問題的基本方法，一是引進(jìn)函數(shù)關(guān)系后，通過函數(shù)圖象實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；二是等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或是值域． 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 3 ．含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類討論．在能夠直接求出不等式對應(yīng)方程根的情況下，根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn)；在需要使用求根公式才能確定不等式對應(yīng)方程根的情況下，方程的判別式是分類的標(biāo)準(zhǔn)．但不論是哪種情況都要首先考慮這個不等式二次項的系數(shù)． 4 ． 不等式的實(shí)際應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立起問題中的不等式 ， 通過解不等式對實(shí)際問題作出結(jié)論 ． 第 31講 │ 簡單的線性規(guī)