【正文】 0 ， 則 x2－ 600 x ＋ 1 600000 ， 其判別式 6002－ 4 16000 00 ，該不等式無(wú)解 ， 故該單位每月不能獲利 ． 又 S ＝ 100 x － y ＝－12( x － 300 )2－ 3 5000 ， 因?yàn)?400 ≤ x ≤ 6 00 ， 所以當(dāng) x ＝ 400 時(shí) ， S 有最大值 － 40 000. 故需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼 40000 元 ， 才能不虧損 ． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 [ 點(diǎn)評(píng) ] 本題充分反映了不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法之一，是建立其函數(shù)模型，根據(jù)一個(gè)函數(shù)的變化情況對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋和結(jié)論，建立的函數(shù)模型有時(shí)要根據(jù)不等式進(jìn)行研究． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 [2022 廣州模擬 ] 不等式 x2－ 3 x ＋ 20 的解集為( ) A ． ( － ∞ ，－ 2) ∪ ( － 1 ，＋ ∞) B ． ( － 2 ，－ 1) C ． ( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞) D ． (1,2) (2)[ 2022第五單元 不等式 知識(shí)框架 第五單元 │ 知識(shí)框架 考綱要求 第五單元 │ 考綱要求 1 ．不等關(guān)系 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式 ( 組 )的實(shí)際背景． 2 ．一元二次不等式 (1) 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． (2) 通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． (3) 會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖． 第五單元 │ 考綱要求 3 ．二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 (1) 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． (2) 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． (3) 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決． 4 ．基本不等式：a ＋ b2≥ ab ( a ， b ＞ 0) （ 1 ） 了解 基本 不等式 的 證明 過(guò)程 . （ 2 ） 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大 ( 小 ) 值問(wèn)題． 命題趨勢(shì) 第五單元 │ 命題趨勢(shì) 不等式既是高考數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí) ， 也是高中數(shù)學(xué)重要的工具知識(shí)之一 ， 高考對(duì)不等式的考查既有單獨(dú)的面對(duì)不等式部分主要知識(shí)點(diǎn)的考查 ， 也有綜合函數(shù) 、 數(shù)列 、 導(dǎo)數(shù) 、 解析幾何等進(jìn)行的考查 ， 不等式在 高考中占有極為重要的位置 ． ( 1 ) 以選擇題或者填空題的形式考查不等式的性質(zhì) 、 一元二次不等式的解法 、 基本不等式的應(yīng)用 、 二元一次不等式所表示的平面區(qū)域 、 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題等 ， 試題的難度中等偏上 ． 這類考查在試卷中一般是 2 個(gè)題目 ． 第五單元 │ 命題趨勢(shì) ( 2 ) 在解答題中綜合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查 ． 在數(shù)列的解答題中 ， 綜合數(shù)列的通項(xiàng)和求和 ， 考查使用基本不等式求最值 、解不等式 、 不等式的證明等 ； 在函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解答題中考查求函數(shù)的定義域 、 討論函數(shù)的單調(diào)性 、 證明不等式等 ； 在解析幾何的解答題中考查利用不等式判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 、求參數(shù)范圍 、 求最值 等 ． 在這類試題中不等式是解決問(wèn)題的主要工具 ， 高考非常重視不等式的工具作用 ． 根據(jù)高考的這個(gè)特點(diǎn) ， 預(yù)計(jì) 2022 年的高考仍然會(huì)是這種考查方式 ， 在試卷中設(shè)置兩道左右的選擇題 、 填空題考查不等式的重要知識(shí)點(diǎn) ， 在解答題中對(duì)不等式進(jìn)行綜合考查 ． 使用建議 第五單元 │ 使用建議 1 ． 編寫意圖 根據(jù)不等式在高中數(shù)學(xué)中的地位 ( 知識(shí)性、工具性 ) ，高考對(duì)不等式的考查特點(diǎn)和考試大綱的要求，在編寫本單元時(shí)，注意到如下的問(wèn)題 ． ( 1 ) 重視不等式本身的知識(shí)和方法的講解和練習(xí)力度，在第 29 講、第 30 講、第 32 講中對(duì)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式所涉及的 知識(shí)和方法進(jìn)行復(fù)習(xí)，以基本的選題和細(xì)致全面的講解進(jìn)行組織，以期通過(guò)這三講的復(fù)習(xí)使學(xué)生掌握好不等式本身的重要知識(shí)和方法，為不等式的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ) ． 第五單元 │ 使用建議 ( 2 ) 強(qiáng)化了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，從高考的客觀情況看，這是高考必考的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們重點(diǎn)解決兩方面問(wèn)題：一是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問(wèn)題，其中重點(diǎn)解決了平面區(qū)域中的參數(shù)問(wèn)題、根據(jù)平面區(qū)域和問(wèn)題的幾何意義求解一些最值問(wèn)題 ( 非線性規(guī)劃問(wèn)題 ) ；二是性規(guī)劃問(wèn)題，其中以含有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題為重點(diǎn)，從建模到求解給予了細(xì)致的講解，并配備了適當(dāng)?shù)牧?xí)題，以圖通過(guò)該講 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力 ． 第五單元 │ 使用建議 2 ． 教學(xué)指導(dǎo) 不等式是知識(shí)和應(yīng)用的結(jié)合體，在復(fù)習(xí)中既要照顧到其基礎(chǔ)性、也要照顧到其應(yīng)用性，具體說(shuō)在教學(xué)中要注意如下幾點(diǎn)： ( 1 ) 在各講的復(fù)習(xí)中首先要注意基礎(chǔ)性，這是第一位的復(fù)習(xí)目標(biāo) ． 由于各講的選題偏重基礎(chǔ)，大多數(shù)例題、變式學(xué)生都可以獨(dú)立完成，在基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)的探究點(diǎn)上要發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考完成這些探究點(diǎn)，教師給予適度的指導(dǎo)和 點(diǎn)評(píng) ． ( 2 ) 要重視實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的分析過(guò)程、建模過(guò)程 ． 應(yīng)用問(wèn)題的難點(diǎn)是數(shù)學(xué)建模，本單元涉及了較多的應(yīng)用題，在這些探 究點(diǎn)上教師的主要任務(wù)就是 指導(dǎo)學(xué)生如何通過(guò)設(shè)置數(shù)量、變量把實(shí)際問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題，重視解題的過(guò)程 ． 第五單元 │ 使用建議 (3) 不等式在高考數(shù)學(xué)各個(gè)部分的應(yīng)用，要循序漸進(jìn)地解決，在本單元中涉及不等式的綜合運(yùn)用時(shí)，我們的選題都很基礎(chǔ)，在這樣的探究點(diǎn)上不要試圖一步到位，不等式的綜合運(yùn)用是整個(gè)一輪復(fù)習(xí)的系統(tǒng)任務(wù)，在本單元只涉及基本的應(yīng)用，不要拔高． 3 ．課時(shí)安排 本單元共 4 講，每課時(shí) 1 講， 1 個(gè)單元能力訓(xùn)練卷， 1 個(gè)課時(shí)，建議 5 課時(shí)完成復(fù)習(xí)任務(wù)． 第 29講 │ 不等關(guān)系與不等式 第 29講 不等關(guān)系與不等式 知識(shí)梳理 第 29講 │ 知識(shí)梳理 1 ．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較原理 (1) 差值比較原理：設(shè) a 、 b ∈ R ，則 a ＞ b ? a － b ＞ 0 ， a ＝ b ? a － b ＝ 0 ， a ＜ b ? ________ . (2) 商值比較原理：設(shè) a 、 b ∈ R ＋ ，則ab＞ 1 ? a ＞ b ，ab＝ 1 ? a ＝ b ，ab＜ 1 ? ______. a－ b＜ 0 a＜ b 第 29講 │ 知識(shí)梳理 2 ．不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 ： a ＞ b ? ______( 對(duì)稱性 ) ． 性質(zhì) 2 ： a ＞ b ， b ＞ c ? ______ ( 傳遞性 ) ． 性質(zhì) 3 ： a ＞ b ? ________________. 性質(zhì) 4 ： a ＞ b ， c ＞ 0 ? ________ ； a ＞ b ， c ＜ 0 ? __ ______. 以上是不等式的基本性質(zhì)，以下是不等式的運(yùn)算性質(zhì)． 性質(zhì) 5 ： a ＞ b ， c ＞ d ? ____________ ( 加法法則 ) ． 性質(zhì) 6 ： a ＞ b ＞ 0 ， c ＞ d ＞ 0 ? ________( 乘法法則 ) ． 性質(zhì) 7 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N*? __________ ( 乘方法則 ) ． 性質(zhì) 8 ： a ＞ b ＞ 0 ， n ∈ N*? ____________ ( 開方法則 ) ． 性質(zhì) 9 ： ab ＞ 0 ， a ＞ b ? ________________( 倒數(shù)法則 ) ． b＜ a a＞ c a ＋ c＞ b ＋ c ac＞ bc ac＜ bc a ＋ c ＞ b ＋ d ac＞ bd an＞ bn n a＞ n b 1a＜1b 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 1 不等關(guān)系 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 例 1 用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板 ． 隨著鐵釘?shù)纳钊?， 鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大 ， 使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度是后一次為前一次的1k( k ∈ N*) ． 已知一個(gè)鐵釘受擊 3 次后全部進(jìn)入木板 ， 且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的47， 請(qǐng)從這個(gè)實(shí)例中提煉出一個(gè)不等式組是 ________ ． 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 ????? 47＋47 k1 ，47＋47 k＋47 k2 ≥ 1[ 解析 ] 敲擊 2 次進(jìn)入木板的部分為 47＋471k1 ；敲擊 3 次全部進(jìn)入木板，則47＋47 k＋47 k2 ≥ 1 ， ∴ 不等式組為????? 47＋47 k1 ，47＋47 k＋47 k2 ≥ 1. ? 探究點(diǎn) 2 比較大小 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 例 2 (1) 若 x y 0 ， 則 ( x2＋ y2)( x － y ) ________ __ ( x2－ y2)( x＋ y ) ( 填 “” “” 或 “ ＝ ” ) ； (2) 已知 a ， b ， c ∈ R ＋ ，且 a2＋ b2＝ c2，當(dāng) n ∈ N ， n 2 時(shí)，cn_____ an＋ bn( 填 “” “” 或 “ ＝ ” ) ． 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 (1) ＞ (2) ＞ [ 解答 ] (1) 解法一： ( x2＋ y2)( x － y ) － ( x2－ y2)( x ＋ y ) ＝ ( x － y )[ x2＋ y2－ ( x ＋ y )2] ＝－ 2 xy ( x － y ) ， ∵ x y 0 ， ∴ xy 0 ， x － y 0 ， ∴ － 2 xy ( x － y )0 ， ∴ ( x2＋ y2)( x － y )( x2－ y2)( x ＋ y ) ． 解法二： ∵ x y 0 ， ∴ x － y 0 ， x2 y2， x ＋ y 0 ， xy 0. ∴ ( x2＋ y2)( x － y )0 ， ( x2－ y2)( x ＋ y )0 ， ∴ 0( x2＋ y2) ( x － y )( x2－ y2) ( x ＋ y )＝x2＋ y2x2＋ y2＋ 2 xy1 ， ∴ ( x2＋ y2)( x － y )( x2－ y2)( x ＋ y ) ． 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 ( 2) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ an， bn， cn0 ， 而an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcn. ∵ a2＋ b2＝ c2，則??????ac2＋??????bc2＝ 1 ， ∴ 0ac 1,0bc 1. ∵ n ∈ N ， n 2 ， ∴??????acn??????ac2，??????bcn??????bc2， ∴an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcna2＋ b2c2 ＝ 1 ， ∴ an＋ bn cn. 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 設(shè) a ∈ R ，且 a ≠0 ，試比較 a 與 1a 的大小． [ 解答 ] 由 a －1a＝( a － 1 ) ( a ＋ 1 )a. 當(dāng) a ＝ 177。 合肥二檢 ] 不 等 式 1 －1x － 10 的 解 集 是__________ ． (3) 不等式 x2＋ x － 1 ＜ 0 的解集是 __ _______ _ ． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 (1) D (2)( － ∞ ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞) (3)????????－ 1 － 52，－ 1 ＋ 5