【文章內(nèi)容簡介】 式分解求出對應方程根的情況下 ， 按照本題的方法求解 ， 但如果不能根據(jù)因式分解的方法求出其根 ， 則需要按照不等式對應方程根判別式的情況進行分類 ， 看下面的變式 ． 第 30講 │ 要點探究 解關(guān)于 x 的不等式： x 2 － x ＋ a 0 . [ 思路 ] 根據(jù)方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 的判別式，分為方程 x2－ x＋ a ＝ 0 無實根、有一個相等的實根、有兩個不相等的實根，結(jié)合二次函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ x ＋ a 的圖象，寫不等式的解集． 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] 方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 的判別式 Δ ＝ 1 － 4 a . (1) 當 Δ 0 ，即 a 14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 無實根，此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 R ； (2) 當 Δ ＝ 0 ，即 a ＝14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 有兩個相等的實根 x1＝ x2＝12，此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 ??????－ ∞ ，12∪??????12，＋ ∞ ； 第 30講 │ 要點探究 (3) 當 Δ 0 ，即 a 14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 有兩個不相等的實根 x1＝1 － 1 － 4 a2， x2＝1 ＋ 1 － 4 a2， 此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 ????????－ ∞ ，1 － 1 － 4 a2∪????????1 ＋ 1 － 4 a2，＋ ∞ . 綜上所述：當 a 14時，不等式的解集為 R ；當 a ≤14時，不等式的解集是????????－ ∞ ，1 － 1 － 4 a2∪????????1 ＋ 1 － 4 a2，＋ ∞ . ? 探究點 4 一元二次不等式的實際用 第 30講 │ 要點探究 例 4 [ 2022 長沙模擬 ] 為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為 400 噸，最多為 600 噸，月處理成本 y ( 元 ) 與月處理量 x ( 噸 ) 之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為 y ＝12x2－ 200 x ＋ 80000 ，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為 100 元． 第 30講 │ 要點探究 [ 思路 ] (1) 平均成本即yx，把其都用 x 表示出來，用基本不等式求解其確定最小值時的 x 值； (2 ) 獲利模型即收入減去成本，本題即 100 x － y ，獲利即 100 x － y 0 ，根據(jù)這個不等式的解和 x的范圍說明是否獲利，根據(jù)這個函數(shù)的最大值說明國家至少補貼值． (1) 該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ (2) 該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？ 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] ( 1 ) 由題意可知 ， 二氧化碳的每噸平均處理成本為 yx＝12x ＋80000x－ 200 ≥ 212x 80000x－ 200 ＝ 200 ， 當且僅當12x ＝80000x， 即 x ＝ 400 時 ， 才能使每噸的平均處理成本最低 ， 最低成本為 200 元 . 第 30講 │ 要點探究 ( 2 ) 設(shè)該單位每月獲利為 S ， 則 S ＝ 100 x － y ＝ 100 x －??????12x2－ 200 x ＋ 80000 ＝ －12x2＋ 300 x － 80000 ， 若 S 0 ， 則 x2－ 600 x ＋ 1 600000 ， 其判別式 6002－ 4 16000 00 ，該不等式無解 ， 故該單位每月不能獲利 ． 又 S ＝ 100 x － y ＝－12( x － 300 )2－ 3 5000 ， 因為 400 ≤ x ≤ 6 00 ， 所以當 x ＝ 400 時 ， S 有最大值 － 40 000. 故需要國家每月至少補貼 40000 元 ， 才能不虧損 ． 第 30講 │ 要點探究 [ 點評 ] 本題充分反映了不等式在解決實際問題中的作用．解決實際問題的基本方法之一，是建立其函數(shù)模型，根據(jù)一個函數(shù)的變化情況對實際問題作出解釋和結(jié)論，建立的函數(shù)模型有時要根據(jù)不等式進行研究． 第 30講 │ 要點探究 [2022 浙江卷 ] 某商家一月份至五月份累計銷售額達 3860 萬元，預測六月份銷售額為500 萬元，七月份銷售額比六月份遞增 x % ，八月份銷售額比七月份遞增 x % ，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達 700 0 萬元，則 x 的最小值是________ ． 第 30講 │ 要點探究 20 [ 解析 ] 由 題 意 可 得 ： 38 6 0 ＋ 5 00 ＋??????500??????1 ＋ x % ＋ 500 ( 1 ＋ x % )2 2 ≥ 7000 ，解得 x ≥ 20( 負值舍去 ) ，所以 x 的最小值是 20. 規(guī)律總結(jié) 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 1 ．一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)是緊密相連的．二次函數(shù)的圖象從 “ 形 ” 上反映了一元二次方程的根和一元二次不等式解的情況，一元二次方程的根和一元二次不等式的解從 “ 數(shù) ” 上反映了二次函數(shù)圖象的位置．在解決一元二次不等式問題時，要注意從函數(shù)與方程思想的角度考慮問題． 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 2 ．一元二次不等式在指定范圍的恒成立 ( 或者不等式在指定范圍的恒成立 ) ，其本質(zhì)是這個不等式的解集包含著指定的區(qū)間．解決這類問題的基本方法，一是引進函數(shù)關(guān)系后，通過函數(shù)圖象實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；二是等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或是值域． 第 30講 │ 規(guī)律總結(jié) 3 ．含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類討論．在能夠直接求出不等式對應方程根的情況下，根的大小是分類的標準；在需要使用求根公式才能確定不等式對應方程根的情況下，方程的判別式是分類的標準．但不論是哪種情況都要首先考慮這個不等式二次項的系數(shù)． 4 ． 不等式的實際應用問題的解題關(guān)鍵是建立起問題中的不等式 ， 通過解不等式對實際問題作出結(jié)論 ． 第 31講 │ 簡單的線性規(guī)劃問題 第 31講 簡單的線性規(guī)劃問題 知識梳理 第 31講 │ 知識梳理 1 ．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 以不等式的解 ______ 為坐標的所有點構(gòu)成的集合，叫做不等式表示的區(qū)域或不等式的圖象． 2 ．坐標平面內(nèi)的點與直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的關(guān)系 ( 1) 點在直線 l 上 ? 點的坐標滿足 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ； ( 2) 直線 l 的同一側(cè)的點 ? 點的坐標使式子 Ax ＋ By ＋ C 的值具有 ______ 的符號； ( 3) 點 M 、 N 在直線 l 兩側(cè) ? M 、 N 兩點的坐標使式子 Ax＋ By ＋ C 的值的符號 ______ ，即一側(cè)都 _______ _ ，另一側(cè)都________ ． (x， y) 相同 相反 大于 0 小于 0 第 31講 │ 知識梳理 3 ．二元一次不等式所表示區(qū)域的確定方法 在直線 l 的某一側(cè)取一特殊點，檢驗其坐標是否滿足二元一次不等式，如果滿足，則這點 _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 區(qū)域就是所求的區(qū)域；否則 l 的 _ _ _ __ _ _ _ 就是所求的區(qū)域． 所在的這一側(cè) 另一側(cè) 第 31講 │ 知識梳理 4. 線性規(guī)劃問題的基本知識 名稱 定義 目標函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù)，叫做目標函數(shù) 約束條件 目標函數(shù)中的變量要滿足的不等式組 線性目標函數(shù) 若目標函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標函數(shù) 線性約束條件 如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式 ( 或等式 ) ，則稱為線性約束條件 第 31講 │ 知識梳理 可行解 滿足約束條件的解 ( x ， y ) 稱為可行解 可行域 所有 ______ 組成的集合稱為可行域 最優(yōu)解 使目標函數(shù)取得 ______ 或 ______ 的點的坐標 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題 可行解 最大值 最小值 要點探究 ? 探究點 1 二元一次不等式（組）所表示的平面域 第 31講 │ 要點探究 例 1 [ 2022 石家莊二檢 ] 已知函數(shù) f ( x ) 的定義域為 [1 ， ＋ ∞ ) ，且 f (2) ＝ f (4) ＝ 1 ， f ′ ( x ) 為 f ( x ) 的導函數(shù)，函數(shù) y ＝ f ′ ( x ) 的圖象如圖 31 － 1 所示，則不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，f ? 2 x ＋ y ? ≤ 1所表示 的 平 面 區(qū) 域 的 面積 是 （ ） 圖 31－ 1 第 31講 │ 要點探究 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D.154 [ 思路 ] 根據(jù)導數(shù)的圖象可以確定函數(shù)f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間 ， 進而確定 2 x ＋ y 的取值范圍 ，這樣不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，f ? 2 x ＋ y ? ≤ 1表示一個平面區(qū)域 ， 確定其形狀 ， 求出面積 ． 第 31講 │ 要點探究 A [ 解析 ] 由導函數(shù)的圖象可得 f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為 (3 ，＋ ∞ ) ， 單調(diào)減區(qū)間為 (1,3) ．又 f (2) ＝ f (4) ＝ 1 ， f (2 x ＋ y ) ≤ 1 可得 2 ≤ 2 x ＋ y ≤ 4 ，則不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，2 ≤ 2 x ＋ y ≤ 4所表示的可行域如圖所示，其面積為12 2 4 －12 1 2 ＝ 3. 正確選項為 A. 第 31講 │ 要點探究 [ 2022 北京 卷 ] 設(shè)不等式組????? x ＋ y － 1 1≥0 ，3 x － y ＋ 3≥0 ，5 x － 3 y ＋ 9≤ 0表示的平面區(qū)域為 D ，若指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象上存在區(qū)域 D上的點，則 a 的取值范圍是 ( ) A ． (1,3] B ． [2 ,3] C ． (1,2] D ． [3 ，＋ ∞) [ 思路 ] 畫出平面區(qū)域，看什么情況下指數(shù)函數(shù)的圖象有經(jīng)過這個平面區(qū)域內(nèi)的點，找到臨界條件即可得到 a 的取值范圍． 第 31講 │ 要點探究 A [ 解析 ] 作出不等式組????? x ＋ y － 1 1≥ 0 ，3 x － y ＋ 3 ≥ 0 ，5 x － 3 y ＋ 9 ≤ 0所表示的平面區(qū)域 D ，如圖陰影部分所示，要使指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象上存在區(qū)域 D 上的點，則有 a 1 ，當指數(shù)函數(shù) y ＝ ax的圖象過點 B ( 2,9)時相應的 a 值最大，此時 a ＝ 3 ，即 a ∈ ( 1,3 ] ． ? 探究點 2 平面區(qū)域和解析幾何、函數(shù)問題的綜合 第 31講 │ 要點探究 例 2 ( 1) [ 2022 福建卷 ] 設(shè)不等式組????? x ≥ 1 ，x － 2 y ＋ 3 ≥ 0 ，y ≥ x所表示的平面區(qū)域是 Ω1， 平面區(qū)域 Ω2與 Ω1關(guān)于直線 3 x － 4 y－ 9 ＝ 0 對稱 ， 對于 Ω1中的任意點 A 與 Ω2中的任意點 B ， | AB |的最小值等于 ( ) A.285 B