高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)資料(參考版)
2024-08-24 14:47本頁(yè)面
【正文】 100x ＝11280x2＋800x－154( 0 x ≤ 120 ) ， 則 h ′ ( x ) ＝x640－800x2 ＝x3－ 803640 x2 ( 0 x ≤ 120 ) ． 令 h ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 80. 66 當(dāng) x ∈ ( 0 , 80 ) 時(shí)， h ′ ( x ) 0 ， h ( x ) 是減函數(shù)； 當(dāng) x ∈ ( 80 , 120 ) 時(shí)， h ′ ( x ) 0 ， h ( x ) 是增函數(shù) ． 所以，當(dāng) x ＝ 80 時(shí)， h ( x ) 取到極小值 h ( 80 ) ＝ 1 . 因?yàn)?h ( x ) 在 ( 0 , 120 ] 上只有一個(gè)極小值， 所以它是最小值 ． 故當(dāng)汽車以 80 千米 / 小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，為 1 升 ． 67 ? 已知函數(shù) (a， b為常數(shù) )的圖象在點(diǎn) A(1， f(1))處的切線為 l，若 l在點(diǎn) A處穿過函數(shù) y=f(x)的圖象 (即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線 y=f(x)運(yùn)動(dòng) )，經(jīng)過點(diǎn) A時(shí)，從 l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)，求實(shí)數(shù) a的值 . ? 解： 因?yàn)?f ′(x)=x2+ax+b， ? 所以 f ′(1)=1+a+ 題型 利用導(dǎo)數(shù)處理圖象位置關(guān)系問題 參考題 ? ? 321132f x x a x b x? ? ?? ? 11 32 afb? ? ? ，68 ? 所以直線 l的方程為 ? 因?yàn)榍芯€ l在點(diǎn) A處穿過 y=f(x)的圖象， ? ?? ? ? ? ? ?? ?321( ) ( 1 ) ( 1 )3221.3221321 1 21.3 2 3 2ay b a b xay a b xag x f x a b xax ax a x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，即令 ［ ］69 ? 所以 g(x)在 x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)， ? 從而 x=1不是 g(x)的極值點(diǎn) . ? 因?yàn)?g′(x)=x2+ax(a+1)=(x1)(x+a+1)， ? 故若 1≠a1， ? 則 x=1和 x=a1都是 g(x)的極值點(diǎn)， ? 不合題意，所以 a1=1，即 a=2. 70 ? ，求函數(shù)的極值和最值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的三類基本問題 .對(duì)變通后的變式問題或綜合性問題，都要化歸為上述基本問題來(lái)解決 .導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與方程、不等式等方面的知識(shí)聯(lián)系密切，對(duì)運(yùn)算、變形能力有較高的要求 . ? 2. 利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的一個(gè)難點(diǎn) . 71 ? ， 討論根的個(gè)數(shù) ，確定根的范圍等問題 ， 一般轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的公共點(diǎn)問題 .以導(dǎo)數(shù)為工具 ， 先分析函數(shù)的基本性質(zhì) ， 再研究圖象 ， 是一種有效的辦法 . ? ， 首先把各變量用各字母分別表示出來(lái) ， 然后分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系 ， 找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式 。 ? 在 (0， +∞)上， f ′(x)＜ 0. ? 所以［ f(x)］ 極小值 =f(2a).由已知， f(2a)=0. ? 所以 (2a)2+a(2a)+a=0，解得 a=4. ? 綜上分析， a=0或 a=4. 38 ? 點(diǎn)評(píng)： 函數(shù)有極值的必要條件是： f ′(x)=0， 由此可轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的等式或方程 ， 再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為所需要的條件 .需要注意的是在此條件下得到的結(jié)論要檢驗(yàn)一下是否為極值 . 39 ? 已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線 y=f(x)在點(diǎn) x=1處的切線為 l:3xy+1= x= 時(shí)， y=f(x)有極值 . ? (1)求 a,b,c的值； ? (2)求 y=f(x)在［ 3， 1］上的最大值和最小值 . ? 解： (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c, ? 得 f ′(x)=3x2+2ax+b. ? 當(dāng) x=1時(shí)，切線 l的斜率為 3，可得 2a+b=0。 ? 在 (2a， +∞)上， f ′(x)＜ 0. ? 所以［ f(x)］極小值 =f(0)=， a=0. ? (3)當(dāng) a＞ 2時(shí)，在 (∞， 2a)上， f ′(x)＜ 0。x 2≤0， ? 所以 f(x)無(wú)極值 . 37 ? (2)當(dāng) a＜ 2時(shí)，在 (∞， 0)上， f ′(x)＜ 0。ex ? 有極小值 0，求 a的值 . ? 解： f ′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a) ? 當(dāng) 1＜ x＜ 1時(shí)， f ′(x)＜ 0。當(dāng) x∈ (2， +∞)時(shí)， f ′(x)＞ 0. ? 又 f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以 f ′(2)=0， ? ? 2 4 3 221 232f x k x x k x x? ? ? ? ? ，25 ? 即 32k284k+2=0，即 16k22k3=0， ? 所以 k= 或 k= (舍去 ). ? 當(dāng) k= 時(shí)， f ′(x)=x32x2x+2 ? =(x+1)(x1)(x2). ? 所以當(dāng) 1＜ x＜ 2時(shí)， f ′(x)＜ 0。 增函數(shù) 減函數(shù) f ′(x)=0 f(x)＜ f(x0) 4 ? 如果對(duì) x0附近的所有的點(diǎn)，都有⑤ ，就說 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極小值，記作 y極小值 =f(x0)，極大值與極小值統(tǒng)稱為⑥ . ? 3. 當(dāng)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處連續(xù)時(shí)，如果在x0附近的左側(cè) f ′(x)＞ 0，右側(cè) f ′(x)＜ 0，那么 f(x0)是⑦ ；如果在 x0附近的左側(cè) f ′(x)＜ 0，右側(cè) f ′(x)＞ 0，那么f(x0)是⑧ . f(x)＞ f(x0) 極值 極大值 極小值 5 ? f(x)在［ a， b］上連續(xù)，在 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)，求 f(x)在［ a， b ］上的最大值與最小值的步驟如下： ? (1)求 f(x)在 (a， b)內(nèi)的⑨ ； ? (2)將 f(x)的各極值與⑩ 比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 . f(a)、 f(b) 極值 6 ? f(x)=(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) ? A. (∞,2) B. (0,3) ? C. (1,4)
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