qkbaaa高三數(shù)學(xué)均值不等式(參考版)
2025-08-07 10:01本頁面
【正文】 ，（其中求函數(shù) ]20s i n4s i n 3???? ???y。 32xx?2 32x ?由于 x0，所以 ，式中等號成立， 62x ?因此 ，此時 。 例 3．求函數(shù) 的最大值，及此時 x的值。 因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是 10m時，它的周長最短，最短周長是 40m. （ 2）設(shè)矩形的長、寬分別為 x(m)， y(m)， 依題意有 2(x+y)=36，即 x+y=18， 因為 x0， y0，所以， 2xyxy ?≤因此 xy ≤ 9將這個正值不等式的兩邊平方，得 xy≤81, 當(dāng)且僅當(dāng) x=y時，式中等號成立， 此時 x=y=9， 因此，當(dāng)這個矩形的長與寬都是 9m時，它的面積最大，最大值是 81m2。 解：（ 1）設(shè)矩形的長、寬分別為 x(m)，y(m)，依題意有 xy=100(m2)， 因為 x0， y0，所以， 2xy xy? ≥因此，即 2(x+y)≥40。 2ab? ab具體作圖如下： （ 1）作線段 AB=a+b，使 AD=a， DB=b, （ 2）以 AB為直徑作半圓 O； （ 3）過 D點作 CD⊥ AB于 D，交半圓于點 C （ 4）連接 AC， BC， CA，則 2abOC ??C D ab?aba+ b2ba O DCBA當(dāng) a≠b時， OCCD，即 2ab ab? ?當(dāng) a=b時， OC=CD，即 2ab ab? ?例 1．已知 ab0，求證： ，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。 為 a， b 2ab?把 看做兩個 正數(shù) a， b 的等差中項， ab 看做 正數(shù) a， b的等比中項， 那么上面不等式可以敘述為： 兩個正數(shù)的等差中項 不小于 它們的等比中項。 如果 a， b∈ R， 那么 a2+b2≥2ab （當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取“ =”） 證明： 222 )(2 baabba ??????????????0)(0)(22babababa時，當(dāng)時，當(dāng) abba 222 ??1．指出定理適用范圍： Rba ?,2．強調(diào)取“ =”的條件： ba ?定理： 如果 a, b∈ R+，那么 abba ??2（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，式中等號成立） 證明： ∵ 22( ) ( ) 2a b a b?? ∴ abba 2?? 即： abba ??2當(dāng)且僅當(dāng) a=b時 abba ??2均值定理： 注意： 1．適用的范圍： a, b 為非負數(shù) . 2．語言表述： 兩個非負數(shù) 的算術(shù)平均數(shù) 不小于 它們的幾何平均數(shù)。 ? 教學(xué)重點： ? 推導(dǎo)并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。新課標(biāo)人教版課件系列 《 高中數(shù)學(xué) 》 必修 5 《 基本不等式 均值不等式 》 審校：王偉 教學(xué)目標(biāo) ? 推導(dǎo)并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用。 稱 2ab? 為 a， b 的算術(shù)平均數(shù)， (a≥0,b≥0) 2ab ab? ?稱為基本不等式 稱 ab 的幾何平均數(shù)。 還有沒有其它的證明方法證明上面的基本不等式呢 ? 幾何直觀解釋： 令正數(shù) a， b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為 和 的兩條線段，然后比較這兩條線段的長。 2baab? ≥證明：因為 ab0，所以 ， 根據(jù)均值不等式得 0 , 0baab??22b a b aa b a b? ? ?≥即 2baab? ≥當(dāng)且僅當(dāng)
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