高考理科數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差復(fù)習(xí)資料(參考版)
2024-08-24 14:45本頁面
【正文】 當(dāng) q＞ 10時(shí) ， f ′(q)＜ 0可知 ， 當(dāng) q=10時(shí) ， f(q)取得最大值 ， 即 Eξq最大時(shí)的產(chǎn)量 q為 10. ? 點(diǎn)評(píng)： 若隨機(jī)變量中的概率含有參數(shù) ， 則其期望值可轉(zhuǎn)化為含參變量的函數(shù) ， 利用函數(shù)的一些性質(zhì)可進(jìn)一步討論期望的有關(guān)問題 . 53 ? 小張有一只放有 a個(gè)紅球、 b個(gè)黃球、 c個(gè)白球的箱子，且 a+b+c=6(a， b， c∈ N)，小劉有一只放有 3個(gè)紅球、 2個(gè)黃球、 1個(gè)白球的箱子 .兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)小張勝，異色時(shí)小劉勝 . ? (1)用 a、 b、 c表示小張勝的概率； ? (2)若又規(guī)定當(dāng)小張取紅、黃、白球而勝的得分分別為 1分、 2分、 3分，否則得 0分，求小張得分的期望的最大值及此時(shí) a、 b、 c的值 . 54 ? 解： (1)P(小張勝 )=P(兩人均取紅球 )+P(兩人均取黃球 )+P(兩人均取白球 ) ? (2)設(shè)小張的得分為隨機(jī)變量 ξ，則 3 2 1 3 2 .6 6 6 6 6 6 3 6a b c a b c??? ? ? ? ? ? ?12( 3 ) ( 2 )6 6 6 63( 1 )6632( 0 ) 1 ( ) 1 .36cbPPaPa b cPP 張????? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?， ，小 勝55 ? 所以 ? 因?yàn)?a， b， c∈ N， a+b+c=6， ? 所以 b= a=c=0， b=6時(shí)， ? Eξ最大，為 . ? ?1 2 3 3 23 2 1 0 ( 1 )6 6 6 6 6 6 3633 4 3 136 36 2 36c b a a b cEa b c ba b c b???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ，2356 ? 有甲、乙兩種鋼筋，從中各抽取等量樣品檢查其抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，得如下分布列： ? 甲： ? ? 乙： 題型 產(chǎn)品質(zhì)量的比較 參考題ξ 110 120 125 130 135 P η 100 115 125 130 145 P 57 ? 其中 ξ、 η分別表示甲、乙的抗拉強(qiáng)度，試比較甲、乙兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好 ? ? 解： 因?yàn)?Eξ=110 +120 ? +125 +130 +135 =125， ? Eη=100 +115 +125 ? +130 +145 =125， ? 又 Dξ=(110125)2 +(120125)2 ? +(125125)2 +(130125)2 ? +(135125)2 =50， 58 ? Dη=(100125)2 +(115125)2 ? +(125125)2 +(130125)2 + ? (145125)2 =165. ? 所以 Eξ=Eη， Dξ＜ Dη，這表明甲、乙兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度的平均水平一致，但甲的穩(wěn)定性較乙的要好，故甲種鋼筋的質(zhì)量比乙種鋼筋好 . 59 ? 1. 對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意： ? (1)Dξ表示隨機(jī)變量 ξ對(duì) Eξ的平均偏離程度，Dξ越大，表明平均偏離程度越大，說明 ξ的取值越分散；反之 Dξ越小， ξ的取值越集中，在Eξ附近 .統(tǒng)計(jì)中常用 Dξ來描述 ξ的分散程度 . ? (2)Dξ與 Eξ一樣也是一個(gè)實(shí)數(shù)，由 ξ的分布列唯一確定 . 60 ? 、 期望 、 方差常與應(yīng)用問題結(jié)合 ， 對(duì)此首先必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析 ， 一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來 ， 再進(jìn)行分析 ， 求出分布列 ，然后按定義求期望 、 方差等 . ? 3. 若 ξ～ B(n， p)， 可以利用公式Eξ=np， Dξ=np(1p)直接計(jì)算 . 61 ? 4. 對(duì)某些與隨機(jī)變量有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，常轉(zhuǎn)化為期望和方差問題，通過對(duì)期望或方差的比較，確定問題的解答結(jié)果，同時(shí)注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，把問題分解為 n個(gè)小問題來解決，從而降低解題難度 . 。如果能售出 30束，則利潤為 30 =75(元 ). ? 因?yàn)?P(ξ=20)=， P(ξ≥30)=， ? 所以利潤的期望值E2= 40+ 75=68(元 ). 47 ? (3)若進(jìn)貨 40束，則同理可得利潤的期望值 ? E3= (20 1)+ (30 10 1)+ 40 =(元 ). ? (4)若進(jìn)貨 50束，則利潤的期望值 ? E4= (20 1)+ (30 20 1)+ (40 10 1)+ 50 =69(元 ). ? 因?yàn)?E3最大，故該鮮花店春節(jié)前進(jìn)貨 40束鮮花為宜 . 48 ? 3. 某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號(hào)的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本 C與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式 為 該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情形，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格 p與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式如下表所示： 題型 6 期望與函數(shù)的綜合應(yīng)用 323 20 10 ( 0 ) .3qC q q q? ? ? ? ＞市場情形 概率 價(jià)格 p與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式 好 p=1643q 中 p=1013q 差 p=703q 49 ? 設(shè) L L L3分別表示市場情形好、中、差時(shí)的利潤，隨機(jī)變量 ξq表示當(dāng)產(chǎn)量為 q而市場前景無法確定時(shí)的利潤 . ? (1)分別求利潤 L L L3與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式； ? (2)當(dāng)產(chǎn)量 q確定時(shí)，求期望 Eξq。 ? (2)若單獨(dú)采取措施甲，
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