離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(參考版)
2025-05-03 03:54本頁面
【正文】 安徽高考 ) (13分 )工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過 10分鐘．如果前一個(gè)人 10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為 p1，p2， p3，假設(shè) p1， p2， p3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立． 返回 (1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？ (2)若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為 q1， q2， q3，其中 q1， q2， q3是 p1， p2， p3的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目 X的分布列和均值 (數(shù)學(xué)期望 )E(X)； (3)假定 1p1p2p3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值 (數(shù)學(xué)期望 )達(dá)到最?。? 返回 [一題多解 ]—————————————(條條大道通羅馬 ) (1)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是 (1－ p1)(1－ p2)(1－ p3)， 所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出的先后順序無關(guān)，并等于 1－ (1－ p1)(1－ p2)(1－ p3)＝ p1＋ p2＋ p3－ p1p2－ p2p3－p3p1＋ p1p2p3. 返回 (2)當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為 q1，q2， q3時(shí)，隨機(jī)變量 X的分布列為 X 1 2 3 P q1 (1－ q1)q2 (1－ q1)(1－ q2) 返回 所需派出的人員數(shù)目的均值 (數(shù)學(xué)期望 )E(X)是 E(X)＝ q1＋ 2(1－ q1)q2＋ 3(1－ q1)(1－ q2)＝ 3－ 2q1－ q2＋q1q2. (3)[法一 ] 由 (2)的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)， E(X)＝ 3－ 2p1－ p2＋ p1p2. 根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值． 返回 下面證明：對(duì)于 p1， p2， p3的任意排列 q1， q2， q3，都有 3－ 2q1－ q2＋ q1q2≥3－ 2p1－ p2＋ p1p2， (*) 事實(shí)上， Δ＝ (3－ 2q1－ q2＋ q1q2)－ (3－ 2p1－ p2＋ p1p2) ＝ 2(p1－ q1)＋ (p2－ q2)－ p1p2＋ q1q2 ＝ 2(p1－ q1)＋ (p2－ q2)－ (p1－ q1)p2－ q1(p2－ q2) ＝ (2－ p2)(p1－ q1)＋ (1－ q1)(p2－ q2)≥(1－ q1)[(p1＋ p2)－ (q1＋q2)]≥0. 即 (*)成立． 返回 [法二 ] ①可將 (2)中所求的 E(X)改寫為 3－ (q1＋ q2)＋ q1q2－q1，若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?3－ (q1＋ q2)＋ q1q2－，當(dāng) q2q1時(shí)，交換前兩人的派出順序可減小均值． ②也可將 (2)中所求的 E(X)改寫為 3－ 2q1－ (1－ q1)q2，若交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?3－ 2q1－ (1－ q1)，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng) q3q2時(shí)，交換后兩人的派出順序也可減小均值． 綜合 ①②可知，當(dāng) (q1， q2， q3)＝ (p1， p2， p3)時(shí)， E(X)達(dá)到最小．即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的． a 返回 1．已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(μ， σ2)，且 P(μ－ 2σXμ＋ 2σ)＝ 4， P(μ－ σXμ＋ σ)＝ 6，若μ＝ 4， σ＝ 1，則 P(5X6)＝ ( ) A． 8 B． 5 C． 6 D． 8 返回 解析： 由題知 X ～ N (4,1) ，作出相應(yīng)的正態(tài)曲線，如圖，依題意 P (2 X 6) ＝ ，P (3 X 5) ＝ 2 6 ，即曲邊梯形 A BCD 的面積為 4 ，曲邊梯形 E FGH 的面積為 26 ，其中 A 、 E 、F 、 B 的橫坐標(biāo)分別是 2 、 3 、 5 、 6 ，由曲線關(guān)于直線 X ＝ 4 對(duì)稱，可知曲邊梯形 FBCG 的面積為 4 － 262＝ 9 ，即 P (5 X 6) ＝ 9 . 答案： B 返回 2．體育課的排球 發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可 發(fā)球 3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到 3 次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為 p(p≠0)，發(fā)球次 數(shù)為 X，若 X的數(shù)學(xué)期望 E(X)，則 p的取值范圍是 ( ) A ． (0 ，712) B ． (712， 1) C ． (0 ，12) D ． (12， 1) 返回 解析： 發(fā)球次數(shù) X的分布列如下表 X 1 2 3 P p (1－ p)p (1－ p)2 所以期望 E ( X ) ＝ p ＋ 2(1 － p ) p ＋ 3(1 － p )2 ， 解得 p 52( 舍去 ) 或 p 12，又 p 0 ，所以 0 P 12. 答案： C 返回
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