高考理科數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差復(fù)習(xí)資料-資料下載頁
2025-08-11 14:45本頁面
【導(dǎo)讀】且取這些值的概率分別。，則稱Dξ=②—————。Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的③。若ξ～B(n，p)，則Eξ=⑦_(dá)___，1顆骰子的點數(shù)為ξ，則(). 解：ξ～B(n，p)，Eξ=10×=，Dξ2，則自動包裝機(jī)的質(zhì)量較好.解：Eξ1=Eξ2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的。的差別大，不穩(wěn)定，所以乙機(jī)質(zhì)量好.一位客人游覽這3個景點的概率分別是，把4個球隨機(jī)地投入4個盒子中去，設(shè)ξ。表示空盒子的個數(shù)，求Eξ.所以.同樣可分析得出P(ξ=2)，據(jù)題意，ξ的可能取值為1，布列后，直接按公式計算即可.某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)。每次隨機(jī)地摸出一個球，記下顏色后放回，紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，名工人獨(dú)立地從中任選一個項目參與建設(shè).獨(dú)立，C1,C2,C3相互獨(dú)立，Ai,Bj,Ck(i，j，
【正文】 L L3分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機(jī)變量 ξq表示當(dāng)產(chǎn)量為 q而市場前景無法確定時的利潤 . ? (1)分別求利潤 L L L3與產(chǎn)量 q的函數(shù)關(guān)系式； ? (2)當(dāng)產(chǎn)量 q確定時，求期望 Eξq。 ? (3)試問產(chǎn)量 q取何值時， Eξq取得最大值 . 50 ? 解： (1)由題意可得 ? 同理可得 ? ?321316 4 3 ( 3 20 10 )314 4 10 ( 0 ) .3qL q q q qqqq? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ＞323381 10 ( 0 )350 10 ( 0 ) .3qL q qqL q q? ? ? ?? ? ? ?＞ ，＞51 ? (2)由期望的定義可知， ? (3)由 (2)可知， Eξq是產(chǎn)量 q的函數(shù)，設(shè) 1 2 33333 144 10 ( 81 10 )33 ( 50 10 ) 100 10.33qE L L Lqqqqqqqq? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 100 10 ( 0 )3q qf q E q q?? ? ? ? ? ＞ ，52 ? 得 f ′(q)=q2+100. ? 令 f ′(q)=0， 解得 q=10或 q=10(舍去 ). ? 由題意及問題的實際意義 ， 當(dāng) 0＜ q＜ 10時 ，f ′(q)＞ 0。當(dāng) q＞ 10時 ， f ′(q)＜ 0可知 ， 當(dāng) q=10時 ， f(q)取得最大值 ， 即 Eξq最大時的產(chǎn)量 q為 10. ? 點評： 若隨機(jī)變量中的概率含有參數(shù) ， 則其期望值可轉(zhuǎn)化為含參變量的函數(shù) ， 利用函數(shù)的一些性質(zhì)可進(jìn)一步討論期望的有關(guān)問題 . 53 ? 小張有一只放有 a個紅球、 b個黃球、 c個白球的箱子，且 a+b+c=6(a， b， c∈ N)，小劉有一只放有 3個紅球、 2個黃球、 1個白球的箱子 .兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時小張勝，異色時小劉勝 . ? (1)用 a、 b、 c表示小張勝的概率； ? (2)若又規(guī)定當(dāng)小張取紅、黃、白球而勝的得分分別為 1分、 2分、 3分，否則得 0分，求小張得分的期望的最大值及此時 a、 b、 c的值 . 54 ? 解： (1)P(小張勝 )=P(兩人均取紅球 )+P(兩人均取黃球 )+P(兩人均取白球 ) ? (2)設(shè)小張的得分為隨機(jī)變量 ξ，則 3 2 1 3 2 .6 6 6 6 6 6 3 6a b c a b c??? ? ? ? ? ? ?12( 3 ) ( 2 )6 6 6 63( 1 )6632( 0 ) 1 ( ) 1 .36cbPPaPa b cPP 張????? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?， ，小 勝55 ? 所以 ? 因為 a， b， c∈ N， a+b+c=6， ? 所以 b= a=c=0， b=6時， ? Eξ最大，為 . ? ?1 2 3 3 23 2 1 0 ( 1 )6 6 6 6 6 6 3633 4 3 136 36 2 36c b a a b cEa b c ba b c b???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ，2356 ? 有甲、乙兩種鋼筋，從中各抽取等量樣品檢查其抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，得如下分布列： ? 甲： ? ? 乙： 題型 產(chǎn)品質(zhì)量的比較 參考題ξ 110 120 125 130 135 P η 100 115 125 130 145 P 57 ? 其中 ξ、 η分別表示甲、乙的抗拉強(qiáng)度，試比較甲、乙兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好 ? ? 解： 因為 Eξ=110 +120 ? +125 +130 +135 =125， ? Eη=100 +115 +125 ? +130 +145 =125， ? 又 Dξ=(110125)2 +(120125)2 ? +(125125)2 +(130125)2 ? +(135125)2 =50， 58 ? Dη=(100125)2 +(115125)2 ? +(125125)2 +(130125)2 + ? (145125)2 =165. ? 所以 Eξ=Eη， Dξ＜ Dη，這表明甲、乙兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度的平均水平一致，但甲的穩(wěn)定性較乙的要好，故甲種鋼筋的質(zhì)量比乙種鋼筋好 . 59 ? 1. 對離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意： ? (1)Dξ表示隨機(jī)變量 ξ對 Eξ的平均偏離程度，Dξ越大，表明平均偏離程度越大，說明 ξ的取值越分散；反之 Dξ越小， ξ的取值越集中，在Eξ附近 .統(tǒng)計中常用 Dξ來描述 ξ的分散程度 . ? (2)Dξ與 Eξ一樣也是一個實數(shù)，由 ξ的分布列唯一確定 . 60 ? 、 期望 、 方差常與應(yīng)用問題結(jié)合 ， 對此首先必須對實際問題進(jìn)行具體分析 ， 一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來 ， 再進(jìn)行分析 ， 求出分布列 ，然后按定義求期望 、 方差等 . ? 3. 若 ξ～ B(n， p)， 可以利用公式Eξ=np， Dξ=np(1p)直接計算 . 61 ? 4. 對某些與隨機(jī)變量有關(guān)的實際應(yīng)用問題，常轉(zhuǎn)化為期望和方差問題，通過對期望或方差的比較，確定問題的解答結(jié)果，同時注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，把問題分解為 n個小問題來解決，從而降低解題難度
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