【導(dǎo)讀】解答疑難點(diǎn)：正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)為圓O的圓心，圓心角為90度，所以∠BPC＝45度。容易忽略A點(diǎn)與B點(diǎn)的位置關(guān)系，導(dǎo)致所求不完全。相似三角形的判定與性質(zhì)。解題疑難點(diǎn)：連接OE、OD，根據(jù)AC、BC分別切圓O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，證出正方形OECD，設(shè)圓O的半徑是r，證△ODB∽△AEO，得出錯(cuò)誤!；設(shè)圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC. ∴四邊形OECD是正方形，疑難點(diǎn)分析：OB=OA=OC，∠BAO=α，∠CAO=β，所以∠BAC=α+β，所以∠BOC=2（α+β）

　　

【正文】 圓中，小圓的半徑為 1， AB與小圓相切于點(diǎn) A，與大圓相交于點(diǎn) B，大圓的弦 BC⊥ AB于點(diǎn) B，過(guò)點(diǎn) C作大圓的切線 CD交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，連接 OC交小圓于點(diǎn) E，連接 BE、 BO． （ 1）求證：△ AOB∽△ BDC； （ 2）設(shè)大圓的半徑為 x， CD的長(zhǎng)為 y： ①求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng) BE與小圓相切時(shí)，求 x的值． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定 理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）由 AB與小圓相切， CD 與大圓相切，根據(jù)切線性質(zhì)可得∠ OAB與∠ OCD 相等，都為直角，又 BC與 AB垂直，根據(jù)垂直定義得到∠ CBA與∠ CBD都為直角，則∠ 1+∠ OBC與∠ 2+∠ OCB 和都為 90176。，由 OC=OB，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠ OBC=∠ OCB，根據(jù)等角的余角相等，得到∠ 1=∠ 2，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得證； （ 2）①過(guò) O作 OF垂直于 BC，由三個(gè)角都為直角的四邊形為矩形得到 ABOF為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得到 FB=OA，由 OA 的長(zhǎng)得到 FB的長(zhǎng)，又 BC 為大圓的弦，利用垂徑定理得到 BC=2BF，從而求出 BC的長(zhǎng)，在直角三角形 OAB中，由 OA=1， OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（ 1）得到的三角形相似得比例，把相應(yīng)的值代入即可得到 y與 x的關(guān)系式； ②當(dāng) BE與小圓相切時(shí)，根據(jù)切線性質(zhì)得到 OE與 BE垂直，由 OE和 OC表示出 EC的長(zhǎng)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到 BE=BA，表示出 EB，在直角三角形 ECB中，由 EC， EB及 BC的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于 x的方程，求出方程的解即可得到 x的值． 解答： （ 1）證明：∵ AB與小圓相切于點(diǎn) A， CD與大圓相切于點(diǎn) C， ∴∠ OAB=∠ OCD=90176。， ∵ BC⊥ AB， ∴∠ CBA=∠ CBD=90176。，（ 1分） ∵∠ 1+∠ OBC=90176。，∠ 2+∠ OCB=90176。， 又∵ OC=OB， ∴∠ OBC=∠ OCB， ∴∠ 1=∠ 2，（ 2分） ∴△ AOB∽△ BDC；（ 3分） （ 2）解：①過(guò)點(diǎn) O作 OF⊥ BC 于點(diǎn) F，則四邊形 OABF是矩形（ 4分） ∴ BF=OA=1， 由垂徑定理，得 BC=2BF=2，（ 5分） 在 Rt△ AOB中， OA=1， OB=x ∴ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，（ 6分） 由（ 1）得△ AOB∽△ BDC ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，即 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ y=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ；（ 7分） ②當(dāng) BE與小圓相切時(shí)， OE⊥ BE， ∵ OE=1， OC=x， ∴ EC=x﹣ 1， BE=AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，（ 8分） 在 Rt△ BCE中，根據(jù)勾股定理得： EC2+BE2=BC2， 即（ x﹣ 1） 2+（ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ） 2=22，（ 9分） 解得： x1=2， x2=﹣ 1（舍 去），（ 10分） ∴當(dāng) BE與小圓相切時(shí)， x=2．（ 11分） 16.（ 2020? 菏澤）如圖， BD為⊙ O的直徑， AB=AC， AD 交 BC于點(diǎn) E， AE=2， ED=4， （ 1）求證：△ ABE∽△ ADB； （ 2）求 AB的長(zhǎng)； （ 3）延長(zhǎng) DB到 F，使得 BF=BO，連接 FA，試判斷直線 FA與⊙ O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；切線的判定。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）根據(jù) AB=AC，可得∠ ABC=∠ C，利用等量代換可得∠ ABC=∠ D然后 即可證明△ ABE∽△ ADB． （ 2）根據(jù)△ ABE∽△ ADB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得 AB的長(zhǎng)． （ 3）連接 OA，根據(jù) BD 為⊙ O 的直徑可得∠ BAD=90176。，利用勾股定理求得 BD，然后再求證∠ OAF=90176。即可． 解答： 解：（ 1）證明： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵∠ C=∠ D， ∴∠ ABC=∠ D， 又∵∠ BAE=∠ EAB， ∴△ ABE∽△ ADB， （ 2）∵△ ABE∽△ ADB， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ AB2=AD? AE=（ AE+ED） ? AE=（ 2+4） 2=12， ∴ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． （ 3）直線 FA與⊙ O相切，理由如下： 連接 OA，∵ BD為⊙ O的直徑， ∴∠ BAD=90176。， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， BF=BO=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∵ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ BF=BO=AB， ∴∠ OAF=90176。， ∴直線 FA與⊙ O相切． 17. （ 2020? 青海）已知：如圖， AB是⊙ O的直徑， AC是弦，直線 EF是過(guò)點(diǎn) C的⊙ O的切線， AD⊥ EF于點(diǎn) D． （ 1）求證：∠ BAC=∠ CAD； （ 2）若∠ B=30176。， AB=12，求 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的長(zhǎng)． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：切線的性質(zhì)；圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 OC，由 EF為圓 O 的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到 OC 與 EF 垂直，又 AD與 EF垂直，得到 AD與 OC平行，根據(jù)兩直線平行得到內(nèi)錯(cuò)角∠ OCA=∠ CAD，由 OA=OC，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠ OCA=∠ OAC，等量代換得證； （ 2）由 OA=OB，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠ B=∠ OCB=30176。，又∠ AOC為△ BOC的外角，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ AOC的度數(shù)，即 為弧 AC所對(duì)的圓心角的度數(shù)，然后由直徑 AB的長(zhǎng)，求出半徑的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求出 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的長(zhǎng)． 解答： （ 1）證明：連接 OC， ∵ EF是過(guò)點(diǎn) C的⊙ O的切線． ∴ OC⊥ EF，又 AD⊥ EF， ∴ OC∥ AD， ∴∠ OCA=∠ CAD， 又∵ OA=OC， ∴∠ OCA=∠ BAC， ∴∠ BAC=∠ CAD； （ 2）解：∵ OB=OC，∴∠ B=∠ OCB=30176。， 又∠ AOC是△ BOC的外角， ∴∠ AOC=∠ B+∠ OCB=60176。， ∵ AB=12， ∴半徑 OA=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 AB=6， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的長(zhǎng) l=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =2π． 18. （ 2020山東濱州， 22， 8分）如圖，直線 PM切⊙ O于點(diǎn) M,直線 PO交⊙ O于 A、 B兩點(diǎn)，弦 AC∥ PM, 連接 OM、 BC. 求證：（ 1）△ ABC∽△ POM。 (2) 22OA OP BC? . 【考 查知識(shí) 點(diǎn)】 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【 疑難點(diǎn) 分析】 （ 1） M切⊙ O于點(diǎn) M，所以∠ PMO=90176。，又因?yàn)橄?AB是直徑，所以∠ ACB=∠ PMO=90176。，再有條件弦 AC∥ PM，可證得∠ CAB=∠ P，進(jìn)而可證得△ ABC∽△ POM；（ 2）有（ 1）可得 AB BCPO OM?，又因?yàn)?AB=2OA， OA=OM；所以 2OA2=OP? BC． 【解答】 證明：（ 1）∵直線 PM切⊙ O于點(diǎn) M， ∴∠ PMO=90176。， ∵弦 AB是直徑， ∴∠ ACB=90176。， ∴∠ ACB=∠ PMO， ∵ AC∥ PM， ∴∠ CAB=∠ P， ∴△ ABC∽△ POM； （ 2）∵△ ABC∽△ POM， ∴ AB BCPO OM? ， 又 AB=2OA， OA=OM， ∴ 2OA BCPO OA? ， ∴ 2OA2=OP? BC． 19. （ 2020年山東省東營(yíng)市， 21， 9分 ）如圖，已知點(diǎn) A、 B、 C、 D均在已知圓上， AD∥ BC，BD平分 ∠ ABC， ∠ BAD=120176。，四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為 15． （ 1）求此圓的半徑； （ 2）求圖中陰影部分的面積． 考 查知識(shí) 點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算 ； 圓心角、弧、弦的關(guān)系 ； 圓周角定理 ． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）根據(jù)條件可以證得四邊形 ABCD是等腰梯形，且 AB=AD=DC， ∠ DBC=90176。，在直角 △ BDC中， BC是圓的直徑， BC=2DC，根據(jù)四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為 15，即可求得 BC，即可得到圓的半徑； （ 2）根據(jù) S 陰影 =S 扇形 AODS△ AOD即可求解． 解答： 解：（ 1） ∵ AD∥ BC， ∠ BAD=120176。． ∴∠ ABC=60176。． 又 ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ ABD=∠ DBC=∠ ADB=30176。 ∴ = = ， ∠ BCD=60176。 ∴ AB=AD=DC， ∠ DBC=90176。 又在直角 △ BDC中， BC是圓的直徑， BC=2DC． ∴ BC+ 32BC=15 ∴ BC=6 ∴ 此圓的半徑為 3． （ 2）設(shè) BC的中點(diǎn)為 O，由（ 1）可知 O即為圓心． 連接 OA， OD，過(guò) O作 OE⊥ AD于 E． 在直角 △ AOE中， ∠ AOE=30176。 ∴ OE=OA? cos30176。 = 332 S△ AOD= 12 3 332 = 934 ． ∴ 2A O DA O D 6 0 3 9S S 33 6 0 4S ?????陰 影 扇 形 3 9 6 9 3 3 =2 4 4??? 20. （ 2020山 東菏澤， 18， 12分）如圖， BD為⊙ O的直徑， AB=AC， AD交 BC于點(diǎn) E， AE=2，ED=4， （ 1）求證：△ ABE∽△ ADB； （ 2）求 AB的長(zhǎng)； （ 3）延長(zhǎng) DB到 F，使得 BF=BO，連接 FA，試判斷直線 FA與⊙ O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；切線的判定． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）根據(jù) AB=AC，可得∠ ABC=∠ C，利用等量代換可得∠ ABC=∠ D然后即可證明△ ABE∽△ ADB． （ 2）根據(jù)△ ABE∽△ ADB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得 AB的長(zhǎng)． （ 3）連接 OA，根據(jù) BD 為⊙ O 的直徑可得∠ BAD=90176。，利用勾股定理求得 BD，然后再求證∠ OAF=90176。即可． 解答： 解：（ 1）證明： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵∠ C=∠ D， ∴∠ ABC=∠ D， 又∵∠ BAE=∠ EAB， ∴△ ABE∽△ ADB， （ 2）∵△ ABE∽△ ADB， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 AB AEAD AB?， ∴ AB2=AD? AE=（ AE+ED） ? AE=（ 2+4） 2=12， ∴ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． （ 3）直線 FA與⊙ O相切，理由如下： 連接 OA，∵ BD為⊙ O的直徑， ∴∠ BAD=90176。， ∴ ? ? 222 1 2 2 4 4 3B D A B A D? ? ? ? ? ? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， BF=BO= 1 232 BD? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∵ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ BF=BO=AB， ∴∠ OAF=90176。， ∴直線 FA與⊙ O相切．