【正文】 = 可求出 OE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出 ME的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案． 解答： 解：（ 1） ∵ CD∥ AB， OA=3， AC=2， ∴△ OAB∽△ OCD， ∴ = ，即 = ， ∴ OD=5； （ 2）過(guò) O作 OE⊥ CD，連接 OM，則 ME= MN， ∵ tan∠ C= ， ∴ 設(shè) OE=x，則 CE=2x， 在 Rt△ OEC中， OC2=OE2+CE2，即 52=x2+（ 2x） 2，解得 x= ， 在 Rt△ OME中， OM2=OE2+ME2，即 32=（ ） 2+ME2，解得 ME=2． 故答案為： 5； 2． 10. （ 2020四川廣安， 29， 10分）如圖所示． P是 ⊙ O外一點(diǎn)． PA是 ⊙ O的切線． A是切點(diǎn)． B是 ⊙ O上一點(diǎn)．且 PA＝ PB，連接 AO、 BO、 AB，并延長(zhǎng) BO與切線 PA相交于點(diǎn) Q． （ 1）求證： PB是 ⊙ O的切線； （ 2）求證： AQ? PQ＝ OQ? BQ； （ 3）設(shè) ∠ AOQ＝ ? ．若 cos? ＝ 45 ． OQ＝ 15．求 AB的長(zhǎng) 考 查知識(shí) 點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系，切線，切線長(zhǎng)，相似，解直角三角形，綜合題． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）要證 PB是⊙ O的切線，只要證明∠ PBO＝ 90176。由 AD∥ CE可證∠ 2＝∠ 6，從而有∠ 3＋∠ 7＝ 90176。即可求得 ODOA的值． 解答： 解：（ 1）如圖①，連接 OC，則 OC=4， ∵ AB與⊙ O相切于點(diǎn) C，∴ OC⊥ AB， ∴在△ OAB中，由 AO=OB， AB=10m，得 AC=21AB=5． 在 Rt△ AOC中，由勾股定理得 OA= 4154 2222 ???? ACOC （ 2）如圖②，連接 OC，則 OC=OD， ∵四邊形 ODCE為菱形，∴ OD=CD， ∴△ ODC為等邊三角形，有∠ AOC=60176。 ．（ 8分） 14. 如圖，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， CD為 ∠ BCA的外角的平分線， F為 AD弧上一點(diǎn)， BC=AF，延長(zhǎng) DF與 BA的延長(zhǎng)線交于 E． （ 1）求證： △ ABD為等腰三角形． （ 2）求證： AC? AF=DF? FE． 考 查知識(shí) 點(diǎn)： 圓周角定理 ； 全等三角形的判定與性質(zhì) ； 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ； 相似三角形的判定與性質(zhì) ． 疑難點(diǎn) 分 析： （ 1） CD為 ∠ BCA的外角的平分線得到 ∠ MCD=∠ ACD，求出 ∠ MCD=∠ DAB推出∠ DBA=∠ DAB即可； （ 2）由 BC=AF推出 CD=DF和 ∠ CDB=∠ ADF，證 △ CDA≌△ FDB，得到 AC=BF，根據(jù) C D F B四點(diǎn)共圓和 A F D B四點(diǎn)共圓，推出 ∠ FAE=∠ BDF和 ∠ EFA=∠ DFB，證 △ DBF∽△ AEF，得到 AFDF= EFBF即可推出答案． 解答： （ 1）證明： ∵ CD為 ∠ BCA的外角的平分線， ∴∠ MCD=∠ ACD， ∵ A、 B、 C、 D四點(diǎn)共圓， ∴∠ MCD=∠ DAB， ∵∠ DCA=∠ DBA， ∴∠ DBA=∠ DAB， ∴ BD=AD， ∴△ ABD是等腰三角形． （ 2）證明： ∵ BC=AF， ∴ 弧 BC=弧 AF， ∵ AD=BD， ∴ 弧 AD=弧 BD， ∴ 弧 CD=弧 DF， ∴ CD=DF， ∵ 弧 BC=弧 DF， ∴∠ CDB=∠ ADF， ∴∠ CDA=∠ FDB， ∵ AD=BD， CD=DF， ∴△ CDA≌△ FDB， ∴ AC=BF， ∵ C D F B四點(diǎn)共圓， A F D B四點(diǎn)共圓， ∴∠ FAE=∠ BDF， ∠ MCD=∠ DFB， ∠ EFA=∠ DBA=∠ DCA， ∵∠ MCD=∠ DCA， ∴∠ EFA=∠ DFB， ∴△ DBF∽△ AEF， ∴ AFDF= EFBF， ∴ AF? BF=DF? EF， ∴ AC? AF=DF? FE． 15. （ 2020? 貴港）如圖所示，在以 O為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為 1， AB與小圓相切于點(diǎn) A，與大圓相交于點(diǎn) B，大圓的弦 BC⊥ AB于點(diǎn) B，過(guò)點(diǎn) C作大圓的切線 CD交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，連接 OC交小圓于點(diǎn) E，連接 BE、 BO． （ 1）求證：△ AOB∽△ BDC； （ 2）設(shè)大圓的半徑為 x， CD的長(zhǎng)為 y： ①求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng) BE與小圓相切時(shí)，求 x的值． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定 理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 ，（ 6分） 由（ 1）得△ AOB∽△ BDC ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）根據(jù) AB=AC，可得∠ ABC=∠ C，利用等量代換可得∠ ABC=∠ D然后 即可證明△ ABE∽△ ADB． （ 2）根據(jù)△ ABE∽△ ADB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得 AB的長(zhǎng)． （ 3）連接 OA，根據(jù) BD 為⊙ O 的直徑可得∠ BAD=90176。 ， ∴ BF=BO=AB， ∴∠ OAF=90176。 ∵ AB=12， ∴半徑 OA=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ∴∠ ACB=∠ PMO， ∵ AC∥ PM， ∴∠ CAB=∠ P， ∴△ ABC∽△ POM； （ 2）∵△ ABC∽△ POM， ∴ AB BCPO OM? ， 又 AB=2OA， OA=OM， ∴ 2OA BCPO OA? ， ∴ 2OA2=OP? BC． 19. （ 2020年山東省東營(yíng)市， 21， 9分 ）如圖，已知點(diǎn) A、 B、 C、 D均在已知圓上， AD∥ BC，BD平分 ∠ ABC， ∠ BAD=120176。 ∴ OE=OA? cos30176。 ， ∵ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ∴ ? ? 222 1 2 2 4 4 3B D A B A D? ? ? ? ? ? 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ∴ AB=AD=DC， ∠ DBC=90176。再有條件弦 AC∥ PM，可證得∠ CAB=∠ P，進(jìn)而可證得△ ABC∽△ POM；（ 2）有（ 1）可得 AB BCPO OM?，又因?yàn)?AB=2OA， OA=OM；所以 2OA2=OP? BC． 【解答】 證明：（ 1）∵直線 PM切⊙ O于點(diǎn) M， ∴∠ PMO=90176。 的長(zhǎng)． 解答： （ 1）證明：連接 OC， ∵ EF是過(guò)點(diǎn) C的⊙ O的切線． ∴ OC⊥ EF，又 AD⊥ EF， ∴ OC∥ AD， ∴∠ OCA=∠ CAD， 又∵ OA=OC， ∴∠ OCA=∠ BAC， ∴∠ BAC=∠ CAD； （ 2）解：∵ OB=OC，∴∠ B=∠ OCB=30176。 ， BF=BO=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，（ 8分） 在 Rt△ BCE中，根據(jù)勾股定理得： EC2+BE2=BC2， 即（ x﹣ 1） 2+（ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 又∵ OC=OB， ∴∠ OBC=∠ OCB， ∴∠ 1=∠ 2，（ 2分） ∴△ AOB∽△ BDC；（ 3分） （ 2）解：①過(guò)點(diǎn) O作 OF⊥ BC 于點(diǎn) F，則四邊形 OABF是矩形（ 4分） ∴ BF=OA=1， 由垂徑定理，得 BC=2BF=2，（ 5分） 在 Rt△ AOB中， OA=1， OB=x ∴ AB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． ∵ AD＝ 1， DE＝ 3， ∴ AE＝ 4． ∴ AB2＝ AD? AE＝ 1 4＝ 4． ∴ AB＝ 2．（ 6分） ∵ BD是⊙ O的直徑， ∴∠ DAB＝ 90176。 由（ 1）知， 90ABC??，∴ 5AC? . 在 ABM△ 中， AD BM? 于 H ， AD 平分 BAC? ， ∴ 3AM AB??，∴ 2CM? . 由 CME△ ∽ BCE△ ，得 12EC MCEB CB??. ∴ 2EB EC? ， ∴ 8 55BE? 12. （ 2020天津， 22， 分）已知 AB與⊙ O 相切于點(diǎn) C， OA=OB， OA、 OB與⊙ O 分別交于點(diǎn) D、 E． （ I）如圖①，若⊙ O的直徑為 8， AB=10，求 OA的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）； （ II ） 如 圖 ② ， 連 接 CD 、 CE ， 若 四 邊 形 ODCE 為 菱 形 ， 求 ODOA 的值． 考 查知識(shí) 點(diǎn) ：切線的性質(zhì)；含 30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。 ∠ Q為公共角， ∴ △ QPB∽ ? QOA． ∴ PQ BQOQ AQ?， 即 AQ? PQ＝ OQ? BQ． （ 3）在 Rt△ AOQ中， 4cos5OAOQ? ??，∴ 44 1 5 1 255O A O Q? ? ? ?． ∴ 2 2 2 21 5 1 2 9A Q O Q O A? ? ? ? ?， BQ＝ BO＋ OQ＝ AO＋ OQ＝ 12＋ 15＝ 27． 由（ 2）知 △ QPB∽ ? QOA，∴ OA QAPB QB?，即 12 927PB? ，解得 PB＝ 36． ∵ PA、 PB都是⊙ O的切線， PA＝ PB， ∴∠ APC＝∠ BPC，∴ PC⊥ AB，即 OC⊥ AB． ∴ AB＝ 2BC， 2 2 2 236 12 12 10P O P B O B? ? ? ? ?． ∵ 1122R t P O BS P B O B P O B C? ??， ∴ 3 6 1 2 1 8 1 051 2 1 0P B O BBC PO ?? ? ?． ∴ 3 6 1 02 5A B B C??． 11. （ 2020四川涼山， 27， 8分） 如圖，已知 ABC△ ，以 BC 為直徑， O 為圓心的半圓交AC 于點(diǎn) F ，點(diǎn) E 為弧 CF的中點(diǎn)，連接 BE 交 AC 于點(diǎn) M ， AD 為△ ABC的角平分線，且 AD BE? ，垂足為點(diǎn) H . （ 1）求證： AB 是半圓 O 的切線； （ 2）若 3AB? ， 4BC? ，求 BE 的長(zhǎng) . 考 查知識(shí) 點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì) ； 勾股定理 ； 圓周角定理 ； 相似三角形的判定與性質(zhì) ． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 EC， AD為△ ABC的角平分線，得∠ 1＝∠ 2，又 AD⊥ BE，可證∠ 3B DA OA HA CA EA MA FA A ＝∠ 4，由對(duì)頂角相等得∠ 4＝∠ 5，即∠ 3＝∠ 5，由 E為弧 CF的中點(diǎn)，得∠ 6＝∠ 7，由 BC為直徑得 ∠ E＝ 90176。 ． 8. （ 2020 內(nèi)蒙古呼和浩特， 24， 8）如圖所示， AC 為 ⊙ O 的直徑且 PA⊥ AC， BC是 ⊙ O的一條弦，直線 PB交直線 AC 于點(diǎn) D， 23DB DCDP DO??． （ 1）求證：直線 PB 是 ⊙ O的切線； （ 2）求 cos∠ BCA的值． 考 查知識(shí) 點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì) ； 全等三角形的判定與性質(zhì) ； 相似三角形的判定與性質(zhì) ； 銳角三角函數(shù)的定義 ． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 OB、 OP，由 23DB DCDP DO??，且 ∠ D=∠ D，根據(jù)三角形相似的判定得到 △ BDC∽△ PDO，可得到 BC∥ OP，易證得△ BOP≌△ AOP，則 ∠ PBO=∠ PAO=90176。 234 32s in ???? BDBCB D C ， ∴∠ BDC=60176。 ．）