【文章內(nèi)容簡介】 BC為大圓的弦，邊 AD與小圓相切于點(diǎn) M， OM的延長線與 BC相交于點(diǎn) N． （ 1）點(diǎn) N是線段 BC的中點(diǎn)嗎？為什么？ （ 2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圓的半徑 ． 考 查知識 點(diǎn) ：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質(zhì)。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）由 AD是小圓的切線可知 OM⊥ AD，再由四邊形 ABCD是矩形可知， AD∥ BC，AB=CD，故 ON⊥ BC，由垂徑定理即可得出結(jié)論； （ 2）延長 ON 交大圓于點(diǎn) E，由于圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm 可知ME=6cm，在 Rt△ OBE中，利用勾股定理即可求出 OM 的長． 解答： 解：（ 1）∵ AD是小圓的切線， M為切點(diǎn)， ∴ OM⊥ AD， ∵四邊形 ABCD是矩形， ∴ AD∥ BC， AB=CD， ∴ ON⊥ BC， BE=BC=5cm， ∴ N是 BC的中點(diǎn)； （ 2）延長 ON交大圓于點(diǎn) E， ∵圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm， ∴ ME=6cm， 在 Rt△ OBE中，設(shè) OM=r OB2=BC2+（ OM+MN） 2，即（ r+6） 2=52+（ r+5） 2，解得 r=7cm， 故小圓半徑為 7cm． 5. （ 2020鹽城， 25， 10分）如圖，在△ ABC中，∠ C=90176。，以 AB上一點(diǎn) O為圓心， OA長為半徑的圓與 BC相切于點(diǎn) D，分別交 AC、 AB 于點(diǎn) E、 F． （ 1）若 AC=6， AB=10，求⊙ O的半徑； （ 2）連接 OE、 ED、 DF、 EF．若四邊形 BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形 OFDE的形狀，并說明理由． 考 查 點(diǎn) ：切線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì) . 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 OD，設(shè)⊙ O的半徑為 r，可證出△ BOD∽△ BAC，則ABOBACOD?，從而求得 r； （ 2）由四邊形 BDEF是平行四邊形，得∠ DEF=∠ B，再由圓周角定理可得，∠ B=錯(cuò)誤 !未找到引用源。21∠ DOB，則△ ODE是等邊三角形，先得出四邊形 OFDE是平行四邊形． 再根據(jù) OE=OF，則平行四邊形 OFDE是菱形． 解答： 解：（ 1）連接 OD．設(shè)⊙ O的半徑為 r．∵ BC切⊙ O于點(diǎn) D，∴ OD⊥ BC． ∵∠ C=90176。，∴ OD∥ AC，∴△ OBD∽△ ABC．∴ABOBACOD?，即 10r=6（ 10﹣ r）． 解得 r=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 415 ，∴⊙ O的半徑為 415 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． （ 2）四邊形 OFDE是菱形． ∵四邊形 BDEF是平行四邊形，∴∠ DEF=∠ B． ∵∠ DEF=21 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ∠ DOB，∴∠ B=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 21 ∠ DOB． ∵∠ ODB=90176。，∴∠ DOB+∠ B=90176。，∴∠ DOB=60176。． ∵ DE∥ AB，∴∠ ODE=60176。． ∵ OD=OE，∴ OD=DE．∵ OD=OF，∴ DE=OF．∴四邊形 OFDE是平行四邊形． ∵ OE=OF， ∴平行四邊形 OFDE是菱形． 6.（ 2020 江蘇揚(yáng)州， 26， 10分） 已知，如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90186。 ，∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D。 （ 1）以 AB邊上一點(diǎn) O為圓心，過 A， D 兩點(diǎn)作 ⊙ O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線 BC與⊙ O的位置關(guān)系，并說明理由； （ 2）若（ 1）中的⊙ O與 AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為 E， AB=6， BD=2 3 , 求線段 BD、 BE與劣弧DE所圍成的圖形面積。（結(jié)果保留根號和 π ） 考 查知識 點(diǎn) ：切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；扇形面積的計(jì)算；作圖 — 復(fù)雜作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)。 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）根據(jù)題意得： O 點(diǎn)應(yīng)該是 AD垂直平分線與 AB 的交點(diǎn)；由∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D，與圓的性質(zhì)可證得 AC∥ OD，又由∠ C=90176。，則問題得證；（ 2）過點(diǎn)D作 DM⊥ AB于 M，由角平分線的性質(zhì)可證得 DM=CD，又由△ BDM∽△ BAC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得 CD： AC=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ： 3，可得∠ DOB=60176。，則問題得解． 解 答： 解：（ 1）如圖：連接 OD， ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ADO， ∵∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D， ∴∠ CAD=∠ OAD， ∴∠ CAD=∠ ADO， ∴ AC∥ OD， ∵∠ C=90176。， ∴∠ ODB=90176。， ∴ OD⊥ BC， 即直線 BC與⊙ O的切線， ∴直線 BC與⊙ O的位置關(guān)系為相切； （ 2）過點(diǎn) D作 DM⊥ AB于 M， ∴∠ DMB=∠ C=90176。， ∵∠ B=∠ B， ∴△ BDM∽△ BAC， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∵ AD是∠ CAB的平分線， ∴ CD=DM， ∴ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴∠ CAD=30176。， ∴∠ DAB=30176。，∠ B=30176。， ∴∠ DOB=60176。， ∴ OD=2， ∴ S 扇形 ODE=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =錯(cuò)誤 !未找到引用源。 π， S△ ODB=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 OD? BD=錯(cuò)誤 !未找到引用源。 2 2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 =2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ∴線段 BD、 BE與劣弧 DE所圍 成的圖形面積為： S△ ODB﹣ S 扇形 ODE=2錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ﹣ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 π． 7. （ 2020南昌， 22， 7 分 ）如圖，已知 ⊙ O的半徑為 2，弦 BC 的長為 32 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，點(diǎn) A為弦 BC 所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（ B， C兩點(diǎn)除外）． （ 1）求 ∠ BAC的度數(shù)； （ 2）求 △ ABC面積的最大值． （參考數(shù)據(jù)： sin60176。 =23 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， cos30176。 =23 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，tan30176。 = 33 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ．） 考 查知識 點(diǎn) ：垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形 . 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 OB、 OC，作 OE⊥ BC于點(diǎn) E，由垂徑定理可得出 BE=EC= 3 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ，在 Rt△ OBE中利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出 ∠ BOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可求解； （ 2）因?yàn)?△ ABC的邊 BC的長 不變，所以當(dāng) BC 邊上的高最大時(shí)， △ ABC 的面積最大，此時(shí)點(diǎn) A應(yīng)落在優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)處，過 OE⊥ BC與點(diǎn) E，延長 EO 交 ⊙ O 于點(diǎn) A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)，連接 AB， AC，則 AB=AC，由圓周角定理可求出 ∠ BAE的度數(shù)，在 Rt△ ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值可求出 AE的長，由三角形的面積公式即可解答． 解答： 解：（ 1）解法一：連接 OB， OC，過 O 作 OE⊥ BC 于點(diǎn) E． ∵ OE⊥ BC， BC= 32 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ 3?? ECBE 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ．在 Rt△ OBE 中， OB=2， ∵ 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 23s in ??? OBBEB O E ， ∴∠ BOE=60176。， ∴∠ BOC=120176。， ∴????? 6021 B O CB A C ． 解法二：連接 BO并延長，交 ⊙ O于點(diǎn) D，連接 CD.∵ BD是直徑， ∴ BD=4， ∠ DCB=90176。． 在 Rt△ DBC中， 錯(cuò)誤 !未找到 引用源。 234 32s in ???? BDBCB D C ， ∴∠ BDC=60176。， ∴∠ BAC=∠ BDC=60176。． （ 2）解法一：因?yàn)?△ ABC的邊 BC的長不變，所以當(dāng) BC邊上的高最大時(shí)， △ ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn) A落在優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)處．（ 5分） 過 O作 OE⊥ BC于 E，延長 EO交 ⊙ O于點(diǎn) A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)．連接 AB， AC，則 AB=AC，????? 3021 B A CB A E 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ．在 Rt△ ABE中， ∵ 3?BE ， ??? 30BAE錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ 333330ta n ????BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221 ??? . 答： △ ABC面積的最大值是 33 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． 解法二：因?yàn)?△ ABC的邊 BC的長不變，所以當(dāng) BC邊上的高最大時(shí)， △ ABC的面積最大，此時(shí)點(diǎn) A落在優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)處．（ 5分） 過 O作 OE⊥ BC于 E，延長 EO交 ⊙ O于點(diǎn) A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點(diǎn)．連接 AB， AC，則 AB=AC． ∵∠ BAC=60176。， ∴△ ABC 是 等邊三角形．在 Rt△ ABE 中， ∵ 3?BE ， ??? 30BAE 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ， ∴ 333330ta n ????BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221 ??? . 答： △ ABC面積的最大值是 33 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 ． 8. （ 2020 內(nèi)蒙古呼和浩特， 24， 8）如圖所示， AC 為 ⊙ O 的直徑且 PA⊥ AC， BC是 ⊙ O的一條弦，直線 PB交直線 AC 于點(diǎn) D， 23DB DCDP DO??． （ 1）求證：直線 PB 是 ⊙ O的切線； （ 2）求 cos∠ BCA的值． 考 查知識 點(diǎn)： 切線的判定與性質(zhì) ； 全等三角形的判定與性質(zhì) ； 相似三角形的判定與性質(zhì) ； 銳角三角函數(shù)的定義 ． 疑難點(diǎn) 分析： （ 1）連接 OB、 OP，由 23DB DCDP DO??，且 ∠ D=∠ D，根據(jù)三角形相似的判定得到 △ BDC∽△ PDO，可得到 BC∥ OP，易證得△ BOP≌△ AOP，則 ∠ PBO=∠ PAO=90176。； （ 2）設(shè) PB=a，則 BD=2a，根據(jù)切線長定理得到 PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到 AD=2 2 a，又 BC∥ OP，得到 DC=2CO，得到 DC=CA=122 2 a= 2 a，則 OA= 22a，利用勾股定理求出 OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出 cos∠ BCA=cos∠ POA的值． 解答： （ 1）證明：連接 OB、 OP，如圖， ∵ 23DB DCDP DO??，且 ∠ D=∠ D， ∴△ BDC∽△ PDO， ∴∠ DBC=∠ DPO， ∴ BC∥ OP， ∴∠ BCO=∠ POA， ∠ CBO=∠ BOP 而 OB=OC ∴∠ OCB=∠ CBO ∴∠ BOP=∠ POA 又 ∵ OB=OA， OP=OP ∴△ BOP≌△ AOP ∴∠ PBO=∠ PAO 又 ∵ PA⊥ AC ∴∠ PBO=90176。 ∴ 直線 PB是 ⊙ O的切線； （ 2）由（ 1）知 ∠ BCO=∠ POA， 設(shè) PB=a，則 BD=2a 又 ∵ PA=PB=a ∴ AD= 2222DP PA??a， 又 ∵ BC∥ OP ∴ DC=2CO， ∴ DC=CA= 12 2 2 a= 2 a， ∴ OA= 22a， ∴ OP= 2 2 2 226()22aO A P A a a? ? ? ?， ∴ c