【正文】 即可． 解答： 解：（ 1）證明： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵∠ C=∠ D， ∴∠ ABC=∠ D， 又∵∠ BAE=∠ EAB， ∴△ ABE∽△ ADB， （ 2）∵△ ABE∽△ ADB， ∴ 錯誤 !未找到引用源。 =2π． 18. （ 2020山東濱州， 22， 8分）如圖，直線 PM切⊙ O于點 M,直線 PO交⊙ O于 A、 B兩點，弦 AC∥ PM, 連接 OM、 BC. 求證：（ 1）△ ABC∽△ POM。 ， ∴ AB2=AD? AE=（ AE+ED） ? AE=（ 2+4） 2=12， ∴ AB=錯誤 !未找到引用源。 ∵ BC⊥ AB， ∴∠ CBA=∠ CBD=90176。 又∵∠ AHM＝∠ E＝ 90176。 ． 解法二：因為 △ ABC的邊 BC的長不變，所以當 BC邊上的高最大時， △ ABC的面積最大，此時點 A落在優(yōu)弧 BC的中點處．（ 5分） 過 O作 OE⊥ BC于 E，延長 EO交 ⊙ O于點 A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點．連接 AB， AC，則 AB=AC． ∵∠ BAC=60176。 =23 錯誤 !未找到引用源。 ， ∴∠ CAD=30176。 21 ∠ DOB． ∵∠ ODB=90176?！?BOD=120176。 ∠ PBD=∠ ABC， ∴△ PBD∽△ ABC， ∴ PD PBAC AB?錯誤 !未找到引用源。 考查知識點：圓心角與圓周角的關(guān)系 疑難點分析： ∠ AOC=36098120=142，所以 ∠ ABC=71， ∠ CBD= 306021 ?? ，所以 ∠ABD=71+30=101 如圖，點 E（ 0， 4）， O（ 0， 0）， C（ 5， 0）在⊙ A上， BE是⊙ A上的一條弦．則 tan∠OBE=_54 __錯誤 !未找到引用源。ODAEBDOE? ，代入即可求出 r=錯誤 !未找到引用源。 ；設(shè)圓的半徑是 x，圓切 AC于 E，切 BC于 D，且 AB于 F，同樣得到正方形 OECD，根據(jù) a﹣ x+b﹣ x=c，求出 x即可；設(shè)圓切 AB于 F，圓的半徑是 y，連接 OF，則△ BCA∽△ OFA得出 ABAOBCOF? ，代入求出 y即可． 解答： 解： C、 連接 OE、 OD， ∵ AC、 BC分別切圓 O于 E、 D， ∴∠ OEC=∠ ODC=∠ C=90176。 。 ， 即 46 10PD?錯誤 !未找到引用源。 ∴∠ DAC=60176?！唷?DOB+∠ B=90176。 ∴∠ DAB=30176。 ，tan30176。 ∴△ ABC 是 等邊三角形．在 Rt△ ABE 中， ∵ 3?BE ， ??? 30BAE 錯誤 !未找到引用源。 ∴ AD∥ CE， ∴∠ 2＝∠ 6＝∠ 1， ∴∠ 3＋∠ 7＝ 90176。（ 1分） ∵∠ 1+∠ OBC=90176。 ． （ 3）直線 FA與⊙ O相切，理由如下： 連接 OA，∵ BD為⊙ O的直徑， ∴∠ BAD=90176。 (2) 22OA OP BC? . 【考 查知識 點】 切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【 疑難點 分析】 （ 1） M切⊙ O于點 M，所以∠ PMO=90176。 AB AEAD AB?， ∴ AB2=AD? AE=（ AE+ED） ? AE=（ 2+4） 2=12， ∴ AB=錯誤 !未找到引用源。利用勾股定理求得 BD，然后再求證∠ OAF=90176。 的長 l=錯誤 !未找到引用源。即可． 解答： 解：（ 1）證明： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵∠ C=∠ D， ∴∠ ABC=∠ D， 又∵∠ BAE=∠ EAB， ∴△ ABE∽△ ADB， （ 2）∵△ ABE∽△ ADB， ∴ 錯誤 !未找到引用源。由 OC=OB，根據(jù)“等邊對等角”得到∠ OBC=∠ OCB，根據(jù)等角的余角相等，得到∠ 1=∠ 2，由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得證； （ 2）①過 O作 OF垂直于 BC，由三個角都為直角的四邊形為矩形得到 ABOF為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等，得到 FB=OA，由 OA 的長得到 FB的長，又 BC 為大圓的弦，利用垂徑定理得到 BC=2BF，從而求出 BC的長，在直角三角形 OAB中，由 OA=1， OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（ 1）得到的三角形相似得比例，把相應(yīng)的值代入即可得到 y與 x的關(guān)系式； ②當 BE與小圓相切時，根據(jù)切線性質(zhì)得到 OE與 BE垂直，由 OE和 OC表示出 EC的長，根據(jù)切線長定理得到 BE=BA，表示出 EB，在直角三角形 ECB中，由 EC， EB及 BC的長，利用勾股定理列出關(guān)于 x的方程，求出方程的解即可得到 x的值． 解答： （ 1）證明：∵ AB與小圓相切于點 A， CD與大圓相切于點 C， ∴∠ OAB=∠ OCD=90176。 ∴∠ 5＋∠ 6＝ 90176。 ， ∴ 333330ta n ????BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221 ??? . 答： △ ABC面積的最大值是 33 錯誤 !未找到引用源。 ， cos30176。 ， ∵ AD是∠ CAB的平分線， ∴ CD=DM， ∴ 錯誤 !未找到引用源。 ∠ DOB，∴∠ B=錯誤 !未找到引用源。 此時∠ BOC=60176。 ∵ AB=6cm， BC=8cm， ∴ AB=10cm， ∵ P為 BC中點， ∴ PB=4cm， ∵∠ PDB=∠ ACB=90176。則∠ ABD的度數(shù)是 101 。證出正方形 OECD，設(shè)圓 O 的半徑是 r，證△ ODB∽△ AEO，得出 錯誤 !未找到引用源。 ∵ OE=OD， ∴四邊形 OECD是正方形， ∴ OE=EC=CD=OD， 設(shè)圓 O的半徑是 r， ∵ OE∥ BC，∴∠ AOE=∠ B， ∵∠ AEO=∠ ODB， ∴△ ODB∽△ AEO， ∴ODAEBDOE?, r rbra r ???， 解得： r=錯誤 !未找到引用源。 考 查知識 點 ： 圓周角定理；坐標與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。 ， ∴ PD=（ cm）， 當 t=， PQ=2t=（ cm）， ∴ PD=PQ，即圓心 P到直線 AB 的距離等于⊙ P的半徑， ∴直線 AB與⊙ P相切； （ 2）∵∠ ACB=90176。 ∴△ DAC∽△ BOC， ∵∠ BCO=90176?！唷?DOB=60176?！?B=30176。 = 33 錯誤 !未找到引用源。 ， ∴ 333330ta n ????BEAE ， ∴ S△ ABC= 3333221 ??? . 答： △ ABC面積的最大值是 33 錯誤 !未找到引用源。 又∵ BC是直徑， ∴ AB是半圓 O的切線； （ 2）∵ 3AB? ， 4BC? 。∠ 2+∠ OCB=90176。 ∴ 錯誤 !未找到引用源。又因為弦 AB是直徑，所以∠ ACB=∠ PMO=90176。 ． （ 3）直線 FA與⊙ O相切，理由如下： 連接 OA，∵ BD為⊙ O的直徑， ∴∠ BAD=90176。 = 332 S△ AOD= 12 3 332 = 934 ． ∴ 2A O DA O D 6 0 3 9S S 33 6 0 4S ?????陰 影 扇 形 3 9 6 9 3 3 =2 4 4??? 20. （ 2020山 東菏澤， 18， 12分）如圖， BD為⊙ O的直徑， AB=AC， AD交 BC于點 E， AE=2，ED=4， （ 1）求證：△ ABE∽△ ADB； （ 2）求 AB的長； （ 3）延長 DB到 F，使得 BF=BO，連接 FA，試判斷直線 FA與⊙ O的位置關(guān)系，并說明理由． 考 查知識 點 ：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；切線的判定． 疑難點 分析： （ 1）根據(jù) AB=AC，可得∠ ABC=∠ C，利用等量代換可得∠ ABC=∠ D然后即可證明△ ABE∽△ ADB． （ 2）根據(jù)△ ABE∽△ ADB，利用其對應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得 AB的長． （ 3）連接 OA，根據(jù) BD 為⊙ O 的直徑可得∠ BAD=90176。 AB=6， ∴ 錯誤 !未找到引用源。利用勾股定理求得 BD，然后再求證∠ OAF=90176。 疑難點 分析： （ 1）由 AB與小圓相切， CD 與大圓相切，根據(jù)切線性質(zhì)可得∠ OAB與∠ OCD 相等，都為直角，又 BC與 AB垂直，根據(jù)垂直定義得到∠ CBA與∠ CBD都為直角，則∠ 1+∠ OBC與∠ 2+∠ OCB 和都為 90176。證明結(jié)論； （ 2）在 Rt△ ABC中，由勾股定理可求 AC＝ 5，由∠ 3＝∠ 4得 AM＝ AB＝ 3，則 CM＝ AC－ AM＝ 2，由（ 1）可證△ CME∽△ BCE，利用相似比可得 EB＝ 2EC，在 Rt△ BCE中，根據(jù) BE2＋ CE2＝ BC2，得 BE2＋（ ） 2＝ 42，可求 BE． 解答： （ 1）證明：連接 EC， ∵ AD⊥ BE于 H，∠ 1＝∠ 2， ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 4＝∠ 5＝∠ 3， 又∵ E為弧 CF中點， ∴∠ 6＝∠ 7， ∵ BC是直徑， ∴∠ E＝ 90176。 ．在 Rt△ ABE中， ∵ 3?BE ， ??? 30BAE錯誤 !未找到引用源。 =23 錯誤 !未找到引用源。 ∵∠ B=∠ B， ∴△ BDM∽△ BAC， ∴ 錯誤 !未找到引用源。 ． （ 2）四邊形 OFDE是菱形． ∵四邊形 BDEF是平行四邊形，∴∠ DEF=∠ B． ∵∠ DEF=21 錯誤 !未找到引用源。； （ 3）∵∠ BCO=∠ A+∠ D， ∴∠ BCO＞∠ A，∠ BCO＞∠ D， ∴要使△ DAC與△ BOC相似，只能∠ DCA=∠ BCO=90176。 AB=5cm，得出⊙ P與⊙ O只能內(nèi)切，進而求出⊙ P與⊙ O相切時， t的值． 解答： 解：（ 1）直線 AB與⊙ P相切， 第 8 題圖 如圖，過 P作 PD⊥ AB，垂足為 D， 在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90176。 , ∠ COB=120176。 解題疑難點 ： 連接 OE、 OD，根據(jù) AC、 BC分別切圓 O于 E、 D，得到∠ OEC=∠ ODC=∠ C=90176。 ，故本選項正確； A、設(shè)圓的半徑是 x，圓切 AC于 E，切 BC于 D，且 AB于 F，如圖（ 1）同樣得到正方形 OECD，AE=AF， BD=BF，則 a﹣ x+b﹣ x=c，求出 x=2 cba ??，故本選項錯誤； B、設(shè)圓切 AB于 F，圓的半徑是 y，連接 OF，如圖（ 2），則△ BCA∽△ OFA，∴ ABAOBCOF?， ∴ cybay ?? ，解得： y=錯誤 !未找到引用源。 疑難點 分析： 根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可證∠ ECO=∠ OBE．由銳角三角函數(shù)可求 tan∠ ECO=54 錯誤 !未找到引用源。 ∴ AB為△ ABC的外接圓的直徑， ∴ BO=錯誤 !未找到引用源。 即