【導(dǎo)讀】1．下述不屬于對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本要求。1．自動(dòng)控制系統(tǒng)的兩種最基本形式即開(kāi)環(huán)控制，閉環(huán)控制。3．隨動(dòng)系統(tǒng)又稱(chēng)伺服系統(tǒng)。4．自動(dòng)調(diào)整系統(tǒng)又稱(chēng)恒值系統(tǒng)。5．能用線形常微分方程描述其輸入與輸出關(guān)系的稱(chēng)為線形系統(tǒng)。6．線形系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是具有齊次性，疊加性。7．線形常微分方程的各項(xiàng)系數(shù)都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，則為線形定常系統(tǒng)。制過(guò)程，其特點(diǎn)是系統(tǒng)的輸出量不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的控制作用發(fā)生影響。除或減少偏差的。是系統(tǒng)被控對(duì)象；熱電偶、電壓放大器、功率放大器、減速器、自耦調(diào)壓器以及產(chǎn)生給定毫伏信號(hào)的給定器構(gòu)成自動(dòng)。控制器；電壓放大器和功率放大器是放大元件，可逆電動(dòng)機(jī)和減速器執(zhí)行機(jī)構(gòu)；熱電偶為測(cè)量元件。熱電偶將溫度信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，反映爐溫，其輸出電勢(shì)與給定毫伏信號(hào)之差為偏差信號(hào)。遲，這是由于環(huán)節(jié)的慣性造成的。2Gs則這兩個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)則

　　

【正文】 ? ?18 0 13 5 13 5 13 5 90 36 0 13 5 13 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 同理2 135sr? ?? ? ④ 與虛軸交點(diǎn)，特方 32 2 2 0s K s K s? ? ? ? 3s 1 2K 2s K 2 1s 222KK? Xr Xc K S3 S2+2S＋ 2 0s 2 222KK? 0? 1K?? 2 20Ks ?? 2sj?? 所以當(dāng) 1K? 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，臨界狀態(tài)下的震蕩頻率為 2?＝ 2 j?2 j135??題圖 32 3． 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 22 ()1s2(KG (s ) ???，畫(huà)出 K從 ??0 變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K的取值范圍。 【解】 漸近線 22 )4s(s )(K32G (s ) ??? ???????????? ??????? ?????180,6014 )1k2( )4(2aa 與虛軸交點(diǎn) D(s)=s2(s+4)2+32K(s+)=s4+8s3+16s2+32Ks+16K 0K328)]j(DIm [ 0K1616)]j(DRe [ 324??????? ??????? 令 ＝ 3 ? ＝ 32? 解出 K畫(huà)出根 軌跡如圖 所示。由根軌跡及計(jì)算結(jié)果可以確定 K 的穩(wěn)定范 圍是 0 ＜ K ＜ 3。 4． 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 16ass as(s ) 2 ???? （ a0），要求： （ 1） 繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡（ 0≤ a∞） 。 （ 2） 判斷（ 3 ， j）點(diǎn)是否在根軌跡上； 由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比為ξ＝ a值。 【解】（ 1）本題給出的是閉環(huán)傳遞函數(shù)，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 D(s)＝ s2+as+16 構(gòu)造等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 16s as(s)G 2 ??? 畫(huà)出根軌跡如圖 所示。它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 4 的圓弧。 圖 根軌跡圖 5．某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示， R(s) C(s) gK ))(2( 522 ?? ?? ss ss — （ 1） 繪制系統(tǒng)的根軌跡草圖； （ 2） 用根軌跡法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 gK 值的范圍； （ 3） 用根軌跡法確定使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不出現(xiàn)超調(diào)的 gK 的最大取值 解：（ 1）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為))(2( )21)(21()( ?? ????? ss jsjsKsG g 開(kāi)環(huán)增益 K = 5 gK 系統(tǒng)類(lèi)型 v = 0 )15()()1()52())(2()( 22 ???????????? gggg KsKsKssKsssD 分離點(diǎn)： jdjddd ????????? 整理得： 011247 2 ??? dd 解出 d = （舍去） 與虛軸交點(diǎn)： 015)1()](Re [0)()](Im [2 ?????????ggg KKjD KjD ?? ?? 解出： ??gK? 25 ????gK? 畫(huà)出系統(tǒng)根軌跡： （ 2）由（ 1）中計(jì)算結(jié)果可知， gK 穩(wěn)定范圍為： gK （ 3）依題意，要求分離點(diǎn) d = 處的 gK 值： 用模值條件解得： 2121 ????? ??? jdjd dddK g 6．兩個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖分別如下圖所示： R(s) C(s) R(s) C(s) — — （ a） （ b） （ 1） 畫(huà)出當(dāng) )0( ??k 變動(dòng)時(shí)，圖（ a）所示系統(tǒng)的根 軌跡； （ 2） 畫(huà)出當(dāng) )0( ??p 變動(dòng)時(shí)，圖（ b）所示系統(tǒng)的根軌跡（即廣義根軌跡）； （ 3） 試確定 k， p 值，使得兩個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)相同。 解：（ 1）2)( )1()( ssksG a ?? d = 2 畫(huà)出系統(tǒng)根軌跡如圖虛線部分 （ 2）)( 4)()( psssG b ?? 4)( 2)( ??? psssG b 構(gòu)造等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 4)(*2)( ?? s pssG b 畫(huà)出相應(yīng)的根軌跡如圖實(shí)線部 分 2sk 1?s )( 4 pss ? （ 3）可見(jiàn)，兩條根軌跡公共交點(diǎn)對(duì)應(yīng)重極點(diǎn) 22,1 ??s ，所以令 221 )2()()( ??? ssDsD 即： 444 222 ???????? sspsskkss 比較系數(shù)得： k = p = 4 此時(shí)兩系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn) 7．設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 R(s) C(s) — 要求：（ 1）繪制 K*從 ??0 變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡； （ 2）試求出系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼時(shí)的開(kāi)環(huán)增益范圍； （ 3）在根軌跡圖上標(biāo)出系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)（用 21,ss 表示）。 解：)1( )3)(2(*)( ? ??? ss ssKsG 開(kāi)環(huán)增益 K = 6K* 系統(tǒng)類(lèi)型 v = I （ 1） 分離點(diǎn)： 3121111 ?????? dddd ，整理得： 0362 2 ??? dd 解出： ????dd 對(duì)應(yīng)的 K*值是： 1*0 7 1 1*2222211111??? ????? ??ddddKddddKdd *6 430 *6 22 11 ?? ?? dd dd KK KK )2(* ?sK )1( 3??sss （ 2） 由根軌跡可以確定使系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)的 K 值范圍為： K （ 3） 復(fù)平面根軌跡是圓，圓心位于 2 21 ??? dd處，半徑是 2 12 ?? dd。在根軌跡圖上做 OA 切圓于 A點(diǎn)（ A點(diǎn)即為所求極點(diǎn)位置）。由相似 三角形關(guān)系 ABBCBOAB? 22 ???BOABBC ????? BCBOOC 2222 ????? BCABAC 故對(duì)應(yīng)最小阻尼狀態(tài)的閉環(huán)極點(diǎn)為： ,1 js ??? 8．已知)2( )3(*)()( ??? ss sKsHsG （ 1） 繪制根軌跡并證明復(fù)平面上根軌跡部分為圓； （ 2） 系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)增益范圍； （ 3） 系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。 解：（ 1）繪根軌跡： 1）開(kāi)環(huán)零， 極點(diǎn) 2,0,3 211 ????? ppz （ n = 2 ， m =1） 2) 實(shí)軸上根軌跡 ），），（，（ ???? 320 3）分離點(diǎn) 31211 ???? ddd 解得 , 21 ???? dd 令 ?? js ?? 為根軌跡上任意一點(diǎn)， 代入特征方程 )3(*)2()( ???? sKsssD 則有： 0*22 0)3(*222??? ????? ???? ???? KK 整理得 222 )3()3( ??? ?? 作出的根軌跡如圖： 可見(jiàn)復(fù)平面根軌跡為圓，圓心坐標(biāo)為（ 3， j0），半徑為 3 。 （ 2）求系統(tǒng)欠阻尼時(shí) K 的范圍。先由特征方程求出分離點(diǎn)處的 K* 0)3(*)2()( 0)3(*)2()( 22222 11111 ????? ????? dKdddD dKdddD 解得 *,* 21 ?? KK 因?yàn)? *23KK? 所以 *23,*232211 ???? KKKK 即欠阻尼狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)增益范圍為 K （ 3）求最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。在根軌跡圖上作圓的切線 OA 于 A點(diǎn)（ A點(diǎn)即為所求極點(diǎn)位置），由相似三角形關(guān)系： ABBCBOAB? 得 1332 ???BOABBC 又 213 ????? BCBOOC 所以 4 1 ?????? BCABAC 故對(duì)應(yīng)最小阻尼狀態(tài)時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為 ,1 js ??? 9．若下圖所示控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 j102? （即 ? ），試確定增益 K 和速度反饋系數(shù) T；并對(duì)求出的 T 值畫(huà)出根軌跡圖；確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍。 R(s) C(s) — )3( ?ss K 1?Ts 解：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) )3( )1()( ??? ss TsKsG， KsKTssD ???? )3()( 2 令 144)102)(102()( 2 ???????? ssjsjssD 比較系數(shù)，解出 K， T 為 K = 14， T = 1/2 此時(shí)有 )3()2(2)3()121()(????????sssKsssKsG 當(dāng) K從 ??0 變化時(shí)，應(yīng)畫(huà) ?0 根軌跡。 分離點(diǎn)：21311 ???? ddd，整理得： 0642 ??? dd ，解出： , 21 ??? dd 與虛軸交點(diǎn)： KsKssKsssD ???????? )23()2(2)3()( 2 令： 0)23()](I m [0)](R e [ 2???????????KjDKjD 聯(lián)立解出： K = 6， ? = 6 畫(huà)出根軌跡： 可以確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍為： 0 K 6 10．已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 16)(2 ??? ass ass?（ a 0） 要求：（ 1）繪出 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡（ ???a0 ）； （ 2）判斷（ j,3? ）點(diǎn)是否在根軌跡上； （ 3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比 ?? 時(shí)的 a 值。 解：（ 1）本題給出的是閉環(huán)傳遞函數(shù)，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為： 16)( 2 ??? asssD 構(gòu)造等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)16)(* 2 ?? s assG，畫(huà)出根軌跡： 它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 4 的圓弧。 （ 2）點(diǎn)（ j,3? ）到原點(diǎn)的距離為 4213 ??? ，故不在根軌跡上。 （ 3） 222 216)( nn ssasssD ??? ?????? nna???2416??? 令 ?? ，得 a = n? = 4 11．已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：)12)(( )()(2?? ?? ss sKsG 要求：（ 1）當(dāng) K 從 ???0 變化時(shí)，概略繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖； （ 2）確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍； （ 3）求出系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差可能達(dá)到的最小絕對(duì)值minsse。 解：（ 1） ))(2( )2(41)(2????sssKsG ， 分離點(diǎn)： ????? ddd 整理并解出： d = 與虛軸交點(diǎn)： )1()()41()2(41))(2()( 22 ??????????? KsKsKsKsssD 令： 0)1()41()](R e