【導(dǎo)讀】為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通。解,則該方程為_____________.交換二次積分的積分次序:??,其中E為單位矩陣,則1()AE??的圖形如右圖所示,在f處的法向量為{3,1,1}.在f處的切向量為{1,0,3}.f,則)(xf在x=0處可導(dǎo)的充要條件為。合同且相似.合同但不相似.在點(diǎn)(1,1)處可微,且(1,1)1f?將)(xf展開成x的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)??yx的交線,從Z軸正向看去,L為逆時(shí)針方向.內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且0)(???130(厘米)的雪堆全部融化需多少小時(shí)?的一個(gè)基礎(chǔ)解系,11122tt?????,其中21,tt為實(shí)常數(shù).試問21,tt滿足什么條件時(shí),s???已知3階矩陣A與三維向量x,使得向量組2,,xAxAx線性無關(guān),且滿足xAAxxA2323??設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為?)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為。),且中途下車與否相互獨(dú)立.以Y表示在中途下車的人數(shù),求:. 二維隨機(jī)變量(,)XY的概率分布.),從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。),其樣本均值為?由通解的形式可知特征方程的兩個(gè)根是12,1rri??,從而得知特征方程為。由此,所求微分方程為'''220yyy???.由此看出二次積分0211(,)ydyfxydx????是二重積分的一個(gè)累次

　　

【正文】 ? ? ? ? ? ? ?1 (3 ).4 EX? ?? ? 的矩估計(jì)量為 1? (3 ),4 X? ??根據(jù)給定的樣本觀察值計(jì)算 1 ( 3 1 3 0 3 1 2 3 )8x ? ? ? ? ? ? ? ? 2.? 因此 ? 的矩估計(jì)值 11? (3 ) .44x? ? ? ? 對(duì)于給定的樣本值似然函數(shù)為 6 2 4( ) 4 ( 1 ) ( 1 2 ) , l n ( ) l n 4 6 l n 2 l n ( 1 ) 4 l n ( 1 2 ) ,LL? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2l n ( ) 6 2 8 2 4 2 8 6 .1 1 2 ( 1 ) ( 1 2 )dLd ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 令 ln ( ) 0dLd ?? ? ,得方程 212 14 3 0??? ? ?,解得 7 1312? ?? ( 7 13 1 ,12 2? ???不合題意 ). 于是 ? 的最大似然估計(jì)值為 7 13? .12? ?? 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 27 2020 年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題 一、 填空題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上） （ 1） )1ln( 102)(coslim xx x ?? =______ . （ 2） 曲面 22 yxz ?? 與平面 042 ??? zyx 平行的切平面的方程是 ______. （ 3） 設(shè) )(c os02 ?? ???? ??? xnxax n n，則 2a = . （ 4） 從 2R 的基 ??????????????????? 11,01 21 ??到基 ?????????????????? 21,11 21 ??的過渡矩陣為 _____ . （ 5） 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 ，yxxyxf 其他 ,10,0 ,6),( ??????? 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 28 則 ??? }1{ YXP ______ . （ 6） 已知一批零件的長(zhǎng)度 X (單位： cm)服從正態(tài)分布 )1,(?N ，從中隨機(jī)地抽取 16 個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為 40 (cm)，則 ? 的置信度為 的置信區(qū)間是 _______ . (注 ：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值 .))6 4 (,9 7 )( ???? 二、選擇題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24分 . 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)） （ 1） 設(shè)函數(shù) f(x)在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則 f(x)有 (A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) . (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) . (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) . (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) . [ ] y O x （ 2） 設(shè) }{},{},{ nnn cba 均為非負(fù)數(shù)列，且 0lim ??? nn a, 1lim ??? nn b, ???? nn clim,則必有 (A) nn ba ? 對(duì)任意 n 成立 . (B) nn cb ? 對(duì)任意 n 成立 . (C) 極限nnn ca??lim不存在 . (D) 極限nnn cb??lim不存在 . [ ] （ 3） 已知函數(shù) f(x,y)在點(diǎn) (0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且 1)( ),(lim 2220,0 ?? ??? yx xyyxfyx，則 (A) 點(diǎn) (0,0)不是 f(x,y)的極值點(diǎn) . (B) 點(diǎn) (0,0)是 f(x,y)的極大值點(diǎn) . (C) 點(diǎn) (0,0)是 f(x,y)的極小值點(diǎn) . (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn) (0,0)是否為 f(x,y)的極值點(diǎn) . [ ] （ 4） 設(shè)向量組 I： r??? , 21 ? 可由向量組 II： s??? , 21 ? 線性表示，則 [ ] (A) 當(dāng) sr? 時(shí)，向量組 II 必線性相關(guān) . (B) 當(dāng) sr? 時(shí)，向量組 II 必線性相關(guān) . (C) 當(dāng) sr? 時(shí)，向量組 I 必線性相關(guān) . (D) 當(dāng) sr? 時(shí)，向量組 I 必線性相關(guān) . （ 5） 設(shè)有齊次線性方程組 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均為 nm? 矩陣，現(xiàn)有 4 個(gè)命題： 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 29 ① 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，則秩 (A)? 秩 (B)； ② 若秩 (A)? 秩 (B)，則 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； ③ 若 Ax=0 與 Bx=0 同解，則秩 (A)=秩 (B)； ④ 若秩 (A)=秩 (B)， 則 Ax=0 與 Bx=0 同解 . 以上命題中正確的是 [ ] (A) ① ② . (B) ① ③ . (C) ② ④ . (D) ③ ④ . （ 6） 設(shè)隨機(jī)變量21),1)((~ XYnntX ??，則 [ ] (A) )(~ 2 nY ? . (B) )1(~ 2 ?nY ? . (C) )1,(~ nFY . (D) ),1(~ nFY . 三 、（本題滿分 10 分） 過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 y=lnx的切線，該切線與曲線 y=lnx及 x軸圍成平面圖形 D. (1) 求 D 的面積 A。 (2) 求 D 繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V. 四 、（本題滿分 12 分） 將函數(shù) xxxf 21 21a rc ta n)( ??? 展開成 x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù) ??? ??0 12)1(nnn的和 . 五 、（本題滿分 10 分） 已知平面區(qū)域 }0,0),{( ?? ????? yxyxD ， L 為 D 的正向邊界 . 試證： (1) dxyedyxedxyedyxe xL yxL y s ins ins ins in ??? ?? ??。 (2) .2 2s ins in ??? ?? dxyedyxe xL y 六 、（本題滿分 10 分） 某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層 . 汽錘每 次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功 . 設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為 k,k0） .汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下 a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù) r(0r1). 問 (1) 汽錘擊打樁 3 次后，可將樁打進(jìn)地下多深？ (2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？ 七 、（本題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) y=y(x)在 ),( ???? 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 )(,0 yxxy ??? 是 y=y(x)的反函數(shù) . 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 30 (1) 試將 x=x(y)所滿足的微分方程 0))(s in( 322 ???dydxxydy xd變換為 y=y(x)滿足的微分方程； (2) 求變換后的微分方程滿足初始條件23)0(,0)0( ??? yy的解 . 八 、（本題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) f(x)連續(xù)且恒大于零， ????????? ?)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF ?， ?????? ttD dxxfdyxftG12)(22)()()(?， 其中 }),{()( 2222 tzyxzyxt ????? ， }.),{()( 222 tyxyxtD ??? (1) 討論 F(t)在區(qū)間 ),0( ?? 內(nèi)的單調(diào)性 . (2) 證明當(dāng) t0 時(shí)， ).(2)( tGtF ?? 九 、（本題滿分 10 分） 設(shè)矩陣???????????322232223A ，???????????100101010P ， PAPB *1?? ，求 B+2E 的特征值與特征向量，其中 *A 為 A的伴隨矩陣， E 為 3 階單位矩陣 . 十 、（本題滿分 8 分） 已知平面上三條不同直線的方程分別為 :1l 032 ??? cbyax ， :2l 032 ??? acybx ， :3l 032 ??? baycx . 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為 .0??? cba 十一 、（本題滿分 10分） 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中僅裝有3 件合格品 . 從甲箱中任取 3 件產(chǎn)品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 . 十二 、（本題滿分 8 分） 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 31 設(shè)總體 X 的概率密度為 ??? ??? ?? ,0 ,2)( )(2 ??? xxexf x 其中 0?? 是 未 知 參 數(shù) . 從總體 X 中 抽 取 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 樣 本 nXXX , 21 ? ，記).,m in (? 21 nXXX ??? (1) 求總體 X 的分布函數(shù) F(x)。 (2) 求統(tǒng)計(jì)量 ?? 的分布函數(shù) )(? xF?； (3) 如果用 ?? 作為 ? 的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性 . 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 32 2020 年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題答案 一、 e1 542 ??? zyx 1 ???????? ?? 21 32 41 ),( 二、 CDADBC 三、 【 詳解 】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 0x ，則曲線 y=lnx在點(diǎn) )ln,( 00 xx 處的切線方程是 ).(1ln000 xxxxy ??? 由該切線過原點(diǎn)知 01ln 0 ??x ，從而 .0 ex ? 所以該切線的方程為 .1xey? 平面圖形 D 的面積 ? ???? 10 .121)( edyeyeA y （ 2） 切線 xey 1? 與 x 軸及直線 x=e 所圍成的三角形繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 .31 21 eV ?? 曲線 y=lnx與 x軸及直線 x=e 所圍成的圖形繞直線 x=e 旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 dyeeV y 2102 )(? ?? ?， 因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 安慶師范學(xué)院 09 計(jì) 1 班 33 ).3125(6)(31 210 2221 ???????? ? eedyeeeVVV y ??? y 1 D O 1 e x 四、 【 詳解 】 因?yàn)?).21,21(,4)1(241 2)( 202 ????????? ??? xxxxf nnn n 又 f(0)= 4? , 所以 dttdttffxf nnx x n n ]4)1([24)()0()( 20 0 0? ? ??? ?????? ? = ).21,21(,12 4)1(24 120 ????? ???? xxn nnnn? 因?yàn)榧?jí)數(shù) ??? ??0 12)1(nnn收斂，函數(shù) f(x)在 21?x 處連續(xù)，所以 ].21,21(,12 4)1(24)( 120