【文章內容簡介】 0| | | | 1 1 3 40 1 1A E B E? ? ? ? ? ??. 十一、 【 解 】 (1) { | } ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 ,m m n mnP Y m X n C p p m n n?? ? ? ? ? ? ?. (2) { , }P X n Y m??= { } { | }P X n P Y m X n? ? ? = ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 , .!n m m n mne C p p m n nn ?? ??? ? ? ? ? 十二、 【 解 】 易見隨機變量 11()nXX?? , 22()nXX?? , 2,( )nnXX? 相互獨立都服從正態(tài)分布2(2 ,2 )N ?? .因此可以將它們看作是取自總體 2(2 ,2 )N ?? 的一個容量為 n 的簡單隨機樣本 .其樣本均值為 21111( ) 2nni n i iiiX X X X???? ? ???, 樣本方差為 21 ( 2 )11ni n ii X X X Ynn?? ? ? ????. 因樣本方差是總體方差的無偏 估計 ,故 21( ) 21EYn ??? ,即 2( ) 2( 1)E Y n ???. 安慶師范學院 09 計 1 班 14 2020 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學一試題 一、填空題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .把答案填在題中橫線上 .) (1)? ??e xx dx2ln= . (2)已知函數(shù) ()y y x? 由方程 016 2 ???? xxye y 確定 ,則 (0)y?? = . (3)微分方程 02 ????? yyy 滿足初始條件0011, 39。 2xxyy??的特解是 . (4)已知實二次型 323121232221321 444)(),( xxxxxxxxxaxxxf ?????? 經(jīng)正交變換x Py? 可化成標準型 216yf ? ,則 a = . (5)設隨機變量 X 服從正態(tài)分布 2( , )( 0)N ? ? ? ? ,且二次方程 042 ??? Xyy 無實根的概率為 12 ,則 ? ＝ . 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一項符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內 .) (1)考慮二元函數(shù) ),( yxf 的下面 4 條性質 : ① ),( yxf 在點 ),( 00 yx 處連續(xù) 。 ② ),( yxf 在點 ),( 00 yx 處的兩個偏導數(shù)連續(xù) 。 安慶師范學院 09 計 1 班 15 ③ ),( yxf 在點 ),( 00 yx 處可微 。 ④ ),( yxf 在點 ),( 00 yx 處的兩個偏導數(shù)存在． 若用“ PQ? ”表示可由性質 P 推出性質 Q ,則有 (A) ② ? ③ ? ① . (B) ③ ? ② ? ① . (C) ③ ? ④ ? ① . (D) ③ ? ① ? ④ . (2)設 0( 1, 2, 3, )nun?? L,且 lim 1n nnu?? ?,則級數(shù) 11 111( 1) ( )nn nnuu? ?? ???? (A) 發(fā)散 . (B) 絕對收斂 . (C) 條件收斂 . (D) 收斂性根據(jù)所給條件不能判定 . (3)設函數(shù) ()y f x? 在 (0, )?? 內有界且可導 ,則 (A) 當 0)(lim ???? xfx時 ,必有 0)(lim ????? xfx. (B) 當 )(lim xfx ????存在時 ,必有 0)(lim ????? xfx. (C) 當0lim ( ) 0x fx?? ?時 ,必有0lim ( ) 0x fx?? ? ?. (D) 當0lim ( )x fx?? ?存在時 ,必有0lim ( ) 0x fx?? ? ?. (4)設有三張不同平面的方程 1 2 3i i i ia x a y a z b? ? ?, 3,2,1?i ,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為２ ,則這三張平面可能的位置 關系為 (5)設 1X 和 2X 是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量 ,它們的概率密度分別為 1()fx和 2()fx,分布函數(shù)分別為 1()Fx和 2()Fx,則 安慶師范學院 09 計 1 班 16 (A) 1()fx＋ 2()fx必為某一隨機變量的概率密 度 . (B) 1()fx 2()fx必為某一隨機變量的概率密度 . (C) 1()Fx＋ 2()Fx必為某一隨機變量的分布函數(shù) . (D) 1()Fx 2()Fx必為某一隨機變量的分布函數(shù) . 三、 (本題滿分 6 分 ) 設函數(shù) )(xf 在 0x? 的 某 鄰 域內 具 有一 階連 續(xù) 導數(shù) , 且 (0) 0, (0) 0ff???, 若( ) ( 2 ) (0)af h bf h f??在 0?h 時是比 h 高階的無窮小 ,試確定 ba, 的值 . 四、 (本題滿分 7 分 ) 已知兩曲線 )(xfy? 與 ? ?? x t dtey arctan0 2在點 (0,0) 處的切線相同 ,寫出此切線方程 ,并求極限)2(lim nnfn ?? . 五、 (本題滿分 7 分 ) 計算二重積分 dxdyeDyx?? },m ax{ 22 ,其中 }10,10|),{( ????? yxyxD . 六、 (本題滿分 8 分 ) 設函數(shù) )(xf 在 ( , )???? 內具有一階連續(xù)導數(shù) ,L 是上半平面 (y ＞ 0)內的有向分段光滑曲線 ,其起點為 ( ba, ),終點為 ( dc, ).記 22 21 [ 1 ( ) ] [ ( ) 1 ] ,L xI y f x y d x y f x y d yyy? ? ? ?? (1)證明曲線積分 I 與路徑 L 無關 。 (2)當 cdab? 時 ,求 I 的值 . 七、 (本題滿分 7 分 ) (1) 驗證函數(shù) 3 3 3 369( ) 1 ( )3 ! 6 ! 9 ! ( 3 ) !nxxy x xn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?LL滿足微分方程安慶師范學院 09 計 1 班 17 xeyyy ?????? 。 (2)利用 (1)的結果 求冪級數(shù) 30(3 )!nnxn???的和函數(shù) . 八、 (本題滿分 7 分 ) 設有一小山 ,取它的底面所在的平面為 xOy 坐標面 ,其底部所占的區(qū)域為 2{( , ) |D x y x? 2 75}y xy? ? ? ,小山的高度函數(shù)為 ),( yxh xyyx ???? 2275 . (1)設 ),( 00 yxM 為區(qū)域 D 上一點 ,問 ),( yxh 在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大 ? 若記此方向導數(shù)的最大值為 ),( 00 yxg ,試寫出 ),( 00 yxg 的表達式 . (2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動 ,為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點作為攀登的起點 .也就是說 ,要在 D 的邊界線 22 75x y xy? ? ? 上找出使 (1)中 ),( yxg 達到最大值的點 .試確 定攀登起點的位置 . 九、 (本題滿分 6 分 ) 已知四階方陣 ),( 4321 ?????A , 4321 , ??? 均為 4 維列向量 ,其中 432 , ??? 線性無關 , 321 2 ??? ?? ,如果 4321 ????? ???? ,求線性方程組 ??Ax 的通解 . 十、 (本題滿分 8 分 ) 設 ,AB為同階方陣 , (1)若 ,AB相似 ,證明 ,AB的特征多項式相等 . (2)舉一個二階方陣的例子說明 (1)的逆命題不成立 . (3)當 ,AB均為實對稱矩陣時 ,證明 (1)的逆命題成立 . 十一、 (本題滿分 7 分 ) 設維隨機變量 X 的概率密度為 安慶師范學院 09 計 1 班 18 1 0,c os ,() 220,x xfx ?? ???? ??? 其 他 . 對 X 獨立地重復觀察４次 ,用 Y 表示觀察值大于3?的次數(shù) ,求 2Y 的數(shù)學期望 . 十二、 (本題滿分 7 分 ) 設總體 X 的概率分布為 X 0 1 2 3 P 2? )1(2 ?? ? 2? ?21? 其中 1(0 )2???? 是未知參數(shù) ,利用總體 X 的如下樣本值 3,1,3, 0,3,1, 2,3, 求 ? 的矩估計值和最大似然估計值 . 2020 年考研數(shù)學一試題答案與解析 一、填空題 (1)【 分析 】 原式2ln 1 ln ee dxxx?? ??? ? ? ?? (2)【 分 析 】 方程兩邊對 x 兩次求導得 39。 6 39。 6 2 0 ,ye y x y y x? ? ? ? ① 239。39。 39。 6 39。39。 12 39。 2 y e y x y y? ? ? ? ? ② 以 0x? 代入原方程得 0y? ,以 0xy?? 代入①得 39。 0,y? ,再以 39。0x y y? ? ? 代入②得39。39。(0) ?? (3)【 分析 】 這是二階的可降階微分方程 . 安慶師范學院 09 計 1 班 19 令 39。 ( )y P y? (以 y 為自變量 ),則 39。39。39。 .d y d P d PyPd x d x d y? ? ? 代入方程得 2 0dPyP Pdy ??,即 0dPyPdy ??(或 0P? ,但 其不滿足初始條件0 139。 2xy ? ?). 分離變量得 0,dP dyPy?? 積分得 ln ln 39。,P y C??即 1CPy?( 0P? 對應 1 0C? )。 由 0x? 時 11, 39。 ,2y P y? ? ? 得1 ?于是 139。 , 2 ,2y P y d y d xy? ? ?積分得 2 2y x C?? . 又由 0 1xy ?? 得 2 1,C? 所求特解為 ?? (4)【 分析 】 因為二次型 TxAx 經(jīng)正交變換化為標準型時 ,標準形中平方項的系數(shù)就是二次型矩陣A 的特征值 ,所以 6,0,0 是 A 的特征值 . 又因 ii ia ????,故 6 0 0 , a a a? ? ? ? ? ? ? (5)【 分析 】 設事件 A 表示“二次方程 042 ??? Xyy 無實根” ,則 {16 4 0 } {A X X? ? ? ? ? 4}. 依題意 ,有 1( ) { 4} .2P A P X? ? ? 而 4{ 4 } 1 { 4 } 1 ( ) ,P X P X ?? ??? ? ? ? ? ? 即 4 1 4 1 41 ( ) , ( ) , 0 . 4 .22? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 二、選擇題 (1)【 分析 】 這是討論函數(shù) ( , )f xy 的連續(xù)性 ,可偏導性 ,可微性及偏導數(shù)的連續(xù)性之間的關安慶師范學院 09 計 1 班 20 系 .我們知道 , ( , )f xy 的兩個偏導數(shù)連續(xù)是可微的充分條件 ,若 ( , )f xy 可微則必連續(xù) ,故選 (A). (2)【 分析 】 由1lim 1 01nn u nn? ?? ? ? ?充分大時即 ,N n N??時 1 0nu?,且 1lim 0,n nu??? ?不妨認為, 0,nnu??因而所考慮級數(shù)是交錯級數(shù) ,但不能保證 1nu的單調性 . 按定義考察部分和 1 1 11 1 1111 1 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )n n nk k knk k kk k k kS u u u u? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1111 1 1 1( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1( 1 ) ( ) ,knnn lklk l n nu u u u u???? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 原級數(shù)收斂 . 再考察取絕對值后的級數(shù)1 111()n nnuu?? ???.注意 11111 2,1 1nn nnuu n n nu u nn??? ?? ? ? ?? 11n n???發(fā)散 ?1 111()n nnuu?? ???發(fā)散 .因此 選 (C). (3)【 分析 】 證明 (B)對 :反證法 .假設 lim ( ) 0x f x a??? ? ??,則由拉格朗日中值定理 , ( 2 ) ( ) 39。( ) ( )f x f x f x x??