【正文】 1，μa2=λb2其中“√”表示平方根）（4）平面三角不等式：設(shè)a1，a2，b1，b2，c2均為實(shí)數(shù)，則√[(a1b1)2＋(a2b2)2]＋√[(b1c1)2＋(b2c2)2]≥√[(a1c1)2＋(a2c2)2]（注：等號(hào)成立條件：存在非負(fù)實(shí)數(shù)μ及λ使得μ(a1b1)=λ(b1c1), μ(a2b2)=λ(b2c2)其中“√”表示平方根）(5)設(shè)α，β，γ為平面向量，則|αβ|+|βγ|≥|αγ|。當(dāng)αβ，βγ為非零向量時(shí)。（注：等號(hào)成立條件：存在正常數(shù)λ，使得αβ＝λ（βγ）219。向量αβ與βγ同向，即夾角為零。（6）一般形式：設(shè)a1，a2，?，an，b1，b2 ?，bn均為實(shí)數(shù)，則2222a12+a2+L+an12+b2+L+bn179。a1b1+a2b2+L+anbn 注：等號(hào)成立219。aa1a2==L=n b1b2bn：（1）定義：設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,…… an。b1 , b2 ,…… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn，其中c1,c2,……,是b1,b2,……，bn的任一排列，則稱a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的順序積之和（簡(jiǎn)稱順序和），稱a1 bn + a2b{n1}+...+ an b1為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的反序積之和（簡(jiǎn)稱反序和），稱a1 c1 + a2 c2 +…+ an 為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的亂序積之和（簡(jiǎn)稱亂序和）（2）定理：（排序不等式，又稱排序原理）設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,… an。b1 , b2 ,… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn，其中c1,c2,…,是b1,b2,…，bn的任一排列，那么a1 bn + a2b{n1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 時(shí)等號(hào)成立，即反序和等于順序和。排序原理可簡(jiǎn)記作：反序和≤亂序和≤順序和。：定理：設(shè)x＞1，且x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則(1+x)n≥1+、不等式的證明1．不等式證明的依據(jù)(1)實(shí)數(shù)的性質(zhì)：a、b同號(hào)219。ab＞0；a、b異號(hào)219。ab＜0a－b＞0219。a＞b；a－b＜0219。a＜b；a－b=0219。a=b(2)不等式的性質(zhì)(略)(3)重要不等式：①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)（非負(fù)數(shù)）②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))a+b≥ab(a、b206。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③b+c⑤a+179。abc⑥ |a|－|b|≤|a177。b|≤|a|＋|b|．⑦ |a1＋a2＋??＋an|≤|a1|＋|a2|＋??＋|an|．⑧ |x|＜a219。x＜a219。－a＜x＜a；⑨ |x|＞a219。x＞a219。x＞a或x＜－a．2．不等式的證明方法(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號(hào)．(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法． 2222(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時(shí)，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．（4）三角換元法：多用于條件不等式的證明，如果所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮用三角代換，將兩個(gè)變量都用同一個(gè)參數(shù)表示，此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題。注意：根據(jù)具體問題，常用的三角換元技巧有：① x2+y2=1,可設(shè)x=cosα,y=sinα；② a≤ x2+y2≤b，可設(shè)x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b③ 對(duì)于④ 對(duì)于+⑤ 對(duì)于x2，由于|x|≤1,可設(shè)x=cosα（0≤α≤π）或x=sinα(π/2≤α≤π/2),可設(shè)x=tanα(π/2＜α＜π/2)或x=cotα(0＜α＜π)x2x2(0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=sin(π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)1,可設(shè)x=cosαα⑥ 對(duì)于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。（5）放縮法：要證明不等式A＜B，有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法叫放縮法。常用技巧有：舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，在分式中放大或縮小分子或分母；應(yīng)用基本不等式放縮。放縮法的理論依據(jù)主要有：不等式的傳遞性、等量加不等量為不等量、同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較。證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法、綜合分析法、放縮法、函數(shù)法、幾何法、其它方法（換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法）、柯西不等式等。（5）利用基本不等式比較實(shí)數(shù)大小或證明不等式① 利用均值定理求最值，必須滿足三個(gè)條件：：“一正”各項(xiàng)均為正數(shù)、“二定”和或積為常數(shù)、“三相等”等號(hào)必須成立。和定積最大，積定和最小。② 構(gòu)造定值條件的常用技巧：加項(xiàng)變換、拆項(xiàng)變換、統(tǒng)一換元、平方后利用不等式。③ 基本不等式：若x，y是正數(shù)，有x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy=取最大值S；42若x，y是正數(shù)，有xy=P（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y=取最小值；2P。三、解不等式1．解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解無(wú)理不等式；④解指數(shù)不等式；⑤解對(duì)數(shù)不等式；⑥解帶絕對(duì)值的不等式；⑦解不等式組．2．解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn)：(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)．(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性．(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍．3．不等式的同解性236。f(x)＞0236。f(x)＜0(1)f(x)g(x)＞0與 237。 或237。同解．238。 g(x)＞0238。 g(x)＜0236。f(x)＞0236。f(x)＜0(2)f(x)g(x)＜0與237。 或237。同解．g(x)＜0g(x)＞0238。238。(3)236。f(x)＞0236。f(x)＜0f(x)＞0與237。或237。同解．(g(x)≠0)g(x)238。g(x)＞0238。g(x)＜0236。f(x)＞0236。f(x)＜0f(x)(4)＜0與237。 或 237。同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0238。238。(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．236。f(x)＞[g(x)]2 236。f(x)≥0239。(7)f(x)＞g(x)與 237。f(x)≥0或237。同解．g(x)＜0238。239。238。g(x)≥0236。f(x)＜[g(x)]2(8)f(x)＜g(x)與237。同解．238。f(x)≥0(9)當(dāng)a＞1時(shí)，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．236。f(x)＞g(x)(10)當(dāng)a＞1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)與237。同解．f(x)＞0238。236。f(x)＜g(x)239。當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaf(x)＞logag(x)與237。 f(x)＞0同解．239。238。g(x)＞0