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不等式基礎(chǔ)知識匯總-資料下載頁

2024-11-11 13:40本頁面
  

【正文】 1,μa2=λb2其中“√”表示平方根)(4)平面三角不等式:設(shè)a1,a2,b1,b2,c2均為實數(shù),則√[(a1b1)2+(a2b2)2]+√[(b1c1)2+(b2c2)2]≥√[(a1c1)2+(a2c2)2](注:等號成立條件:存在非負實數(shù)μ及λ使得μ(a1b1)=λ(b1c1), μ(a2b2)=λ(b2c2)其中“√”表示平方根)(5)設(shè)α,β,γ為平面向量,則|αβ|+|βγ|≥|αγ|。當αβ,βγ為非零向量時。(注:等號成立條件:存在正常數(shù)λ,使得αβ=λ(βγ)219。向量αβ與βγ同向,即夾角為零。(6)一般形式:設(shè)a1,a2,?,an,b1,b2 ?,bn均為實數(shù),則2222a12+a2+L+an12+b2+L+bn179。a1b1+a2b2+L+anbn 注:等號成立219。aa1a2==L=n b1b2bn:(1)定義:設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,…… an。b1 , b2 ,…… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn,其中c1,c2,……,是b1,b2,……,bn的任一排列,則稱a1 b1 + a2 b2+...+ an bn 為這兩個實數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和),稱a1 bn + a2b{n1}+...+ an b1為這兩個實數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和),稱a1 c1 + a2 c2 +…+ an 為這兩個實數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)(2)定理:(排序不等式,又稱排序原理)設(shè)有兩組數(shù) a1 , a2 ,… an。b1 , b2 ,… bn 滿足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn,其中c1,c2,…,是b1,b2,…,bn的任一排列,那么a1 bn + a2b{n1}+...+ an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an a1 = a2 =...= an 或 b1 = b2 =...= bn 時等號成立,即反序和等于順序和。排序原理可簡記作:反序和≤亂序和≤順序和。:定理:設(shè)x>1,且x≠0,n為大于1的自然數(shù),則(1+x)n≥1+、不等式的證明1.不等式證明的依據(jù)(1)實數(shù)的性質(zhì):a、b同號219。ab>0;a、b異號219。ab<0a-b>0219。a>b;a-b<0219。a<b;a-b=0219。a=b(2)不等式的性質(zhì)(略)(3)重要不等式:①|(zhì)a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)(非負數(shù))②a2+b2≥2ab(a、b∈R,當且僅當a=b時取“=”號)a+b≥ab(a、b206。R+,當且僅當a=b時取“=”號)2333+④ a+b+c≥3abc(a,b,c∈R)③b+c⑤a+179。abc⑥ |a|-|b|≤|a177。b|≤|a|+|b|.⑦ |a1+a2+??+an|≤|a1|+|a2|+??+|an|.⑧ |x|<a219。x<a219。-a<x<a;⑨ |x|>a219。x>a219。x>a或x<-a.2.不等式的證明方法(1)比較法:要證明a>b(a<b),只要證明a-b>0(a-b<0),這種證明不等式的方法叫做比較法.用比較法證明不等式的步驟是:作差——變形——判斷符號.(2)綜合法:從已知條件出發(fā),依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明不等式的方法叫做綜合法. 2222(3)分析法:從欲證的不等式出發(fā),逐步分析使這不等式成立的充分條件,直到所需條件已判斷為正確時,從而斷定原不等式成立,這種證明不等式的方法叫做分析法.(4)三角換元法:多用于條件不等式的證明,如果所給條件較復(fù)雜,一個變量不易用另一個變量表示,這時可考慮用三角代換,將兩個變量都用同一個參數(shù)表示,此法如果運用恰當,可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系,將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題。注意:根據(jù)具體問題,常用的三角換元技巧有:① x2+y2=1,可設(shè)x=cosα,y=sinα;② a≤ x2+y2≤b,可設(shè)x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b③ 對于④ 對于+⑤ 對于x2,由于|x|≤1,可設(shè)x=cosα(0≤α≤π)或x=sinα(π/2≤α≤π/2),可設(shè)x=tanα(π/2<α<π/2)或x=cotα(0<α<π)x2x2(0≤α<π/2或π/2<α≤π)或x=sin(π/2≤α<0或0<α≤π/2)1,可設(shè)x=cosαα⑥ 對于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。(5)放縮法:要證明不等式A<B,有時可以將它的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A<C,后證C<B,這種證法叫放縮法。常用技巧有:舍掉(或加進)一些項,在分式中放大或縮小分子或分母;應(yīng)用基本不等式放縮。放縮法的理論依據(jù)主要有:不等式的傳遞性、等量加不等量為不等量、同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。證明不等式除以上三種基本方法外,還有反證法、數(shù)學歸納法、綜合分析法、放縮法、函數(shù)法、幾何法、其它方法(換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法)、柯西不等式等。(5)利用基本不等式比較實數(shù)大小或證明不等式① 利用均值定理求最值,必須滿足三個條件::“一正”各項均為正數(shù)、“二定”和或積為常數(shù)、“三相等”等號必須成立。和定積最大,積定和最小。② 構(gòu)造定值條件的常用技巧:加項變換、拆項變換、統(tǒng)一換元、平方后利用不等式。③ 基本不等式:若x,y是正數(shù),有x+y=S(和為定值),則當x=y時,積xy=取最大值S;42若x,y是正數(shù),有xy=P(積為定值),則當x=y時,和x+y=取最小值;2P。三、解不等式1.解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解無理不等式;④解指數(shù)不等式;⑤解對數(shù)不等式;⑥解帶絕對值的不等式;⑦解不等式組.2.解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點:(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì).(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性.(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍.3.不等式的同解性236。f(x)>0236。f(x)<0(1)f(x)g(x)>0與 237。 或237。同解.238。 g(x)>0238。 g(x)<0236。f(x)>0236。f(x)<0(2)f(x)g(x)<0與237。 或237。同解.g(x)<0g(x)>0238。238。(3)236。f(x)>0236。f(x)<0f(x)>0與237。或237。同解.(g(x)≠0)g(x)238。g(x)>0238。g(x)<0236。f(x)>0236。f(x)<0f(x)(4)<0與237。 或 237。同解.(g(x)≠0)g(x)g(x)<0g(x)>0238。238。(5)|f(x)|<g(x)與-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)(6)|f(x)|>g(x)①與f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解;②與g(x)<0同解.236。f(x)>[g(x)]2 236。f(x)≥0239。(7)f(x)>g(x)與 237。f(x)≥0或237。同解.g(x)<0238。239。238。g(x)≥0236。f(x)<[g(x)]2(8)f(x)<g(x)與237。同解.238。f(x)≥0(9)當a>1時,af(x)>ag(x)與f(x)>g(x)同解,當0<a<1時,af(x)>ag(x)與f(x)<g(x)同解.236。f(x)>g(x)(10)當a>1時,logaf(x)>logag(x)與237。同解.f(x)>0238。236。f(x)<g(x)239。當0<a<1時,logaf(x)>logag(x)與237。 f(x)>0同解.239。238。g(x)>0
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