全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初3)第19講平面幾何中的幾個(gè)著名定理-資料下載頁(yè)
2025-10-26 00:56本頁(yè)面
【正文】 角形．求證：△DEF是等邊三角形．3．如圖240所示．CB于E．求證：BE=CF．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交4．如圖241所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．5．如圖242所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第14講 中位線及其應(yīng)用全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第十四講 中位線及其應(yīng)用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．例1 如圖253所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，△ABC的面積．分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長(zhǎng)．解 由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以由條件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABC的一條中位線，所以BC=2EG=26=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以例2 如圖 254 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求證：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析 若延長(zhǎng)AG，設(shè)延長(zhǎng)線交BC于M．由角平分線的對(duì)稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長(zhǎng)AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的三邊長(zhǎng)可求出GH的長(zhǎng)度．(1)證 分別延長(zhǎng)AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米，所以BN=BCCN=1814=4(厘米)，MC=BCBM=189=9(厘米)．從而MN=1849=5(厘米)，說(shuō)明(1)在本題證明過(guò)程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，則這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對(duì)邊”．同學(xué)們不妨自己證明．(3)從本題的證明過(guò)程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖255所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖256所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．例3 如圖257所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)．求證：A′C′=B′D′．分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)，有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′與B′D′則是它的對(duì)角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)．證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．從而AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′． ①說(shuō)明 在解題過(guò)程中，人們的經(jīng)驗(yàn)?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開(kāi)拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有益處的．例4 如圖258所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點(diǎn)．證 取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點(diǎn))，所以同理，由F，G分別是BD和AD的中點(diǎn)，從而，F(xiàn)G是△ABD的中位線，所以在△EFG中，EF＞EGFG． ③由①，②，③例5 如圖259所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．分析 本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90176。．在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問(wèn)題獲解．證 取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以因?yàn)锳D=AB+CD，所以從而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90176。(△ADE的內(nèi)角和等于180176。)．從而∠AED=∠2+∠3=90176。，所以 DE⊥AE．例6 如圖260所示．△ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1．求證：AA1+EE1=FF1+DD1．分析 顯然ADEF是平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線，OO1恰是兩個(gè)梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對(duì)角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1．練習(xí)十四1．已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AE=2CE，CD，BE交于O點(diǎn)，OE=2厘米．求BO的長(zhǎng)．2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長(zhǎng)．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)．求證：∠BFE=∠EGD．4．如圖261所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC，分別交FE的延長(zhǎng)線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)(如圖262所示)．求證：∠DEF=∠HFE．6．如圖263所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD
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