全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題-資料下載頁(yè)
2025-04-04 03:22本頁(yè)面
【正文】 ∠ACB)=180176。，即∠ABP=∠ACP。又因?yàn)锳BAC，AD⊥BC，故BDCD。設(shè)B39。是點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則B39。在線段DC上且B39。D=BD。連結(jié)AB39。、PB39。由對(duì)稱(chēng)性，有∠AB39。P=∠ABP，從而∠AB39。P=∠ACP，所以A、P、B39。、C四點(diǎn)共圓。由此可知∠PB39。B=∠CAP=90176。?∠ACB。因?yàn)椤螾BC=∠PB39。B，故∠PBC+∠ACB=(90176。?∠ACB)+∠ACB=90176。，故直線BP和AC垂直。由題設(shè)P在邊BC的高上，所以P是△ABC的垂心。9.(2008)[解法一] （Ⅰ）如答一圖1，由托勒密不等式，對(duì)平面上的任意點(diǎn)，有 ．因此 ．因?yàn)樯厦娌坏仁疆?dāng)且僅當(dāng)順次共圓時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)且僅當(dāng)在的外接圓且在上時(shí)， ． 又因，此不等式當(dāng)且僅當(dāng)共線且在上時(shí)取等號(hào)．因此當(dāng)且僅當(dāng)為的外接圓與的交點(diǎn)時(shí)，取最小值．故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓． （Ⅱ）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 解得或（舍去），故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得從而，為等腰直角三角形．因，則．又也是等腰直角三角形，故，．故． 答一圖2[解法二] （Ⅰ）如答一圖2，連接交的外接圓于點(diǎn)（因?yàn)樵谕?，故在上）．過(guò)分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以∽． 設(shè)，，則對(duì)平面上任意點(diǎn)，有 從而 ．由點(diǎn)的任意性，知點(diǎn)是使達(dá)最小值的點(diǎn)．由點(diǎn)在上，故四點(diǎn)共圓． （Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以整理得， 解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 所以，為等腰直角三角形，，因?yàn)椋c(diǎn)在上，所以為矩形，故，所以． [解法三] （Ⅰ）引進(jìn)復(fù)平面，仍用等代表所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．由三角形不等式，對(duì)于復(fù)數(shù)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)與（復(fù)向量）同向時(shí)取等號(hào)．有 ，所以 （1），從而 ． （2） ?。?）式取等號(hào)的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實(shí)數(shù)，使得 ， ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點(diǎn)共圓．（2）式取等號(hào)的條件顯然為共線且在上．故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)在之外接圓上，四點(diǎn)共圓． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．7
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