【正文】 bxBNa?，則整數(shù)對 的個數(shù)為??2,34ABN????b, A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）河大附中校本課程 26 【解】　 ； 。要使 ，則50xa??5x?60b??6x??2,34ABN??，即 。所以數(shù)對 共有 。12645b??????12b??????a,16530C4. 在直三棱柱 中， ， . 已知Ｇ與Ｅ分別1ABC?2BA???1A?為 和 的中點，Ｄ與Ｆ分別為線段 和 上的動點（不包括端點）. 若1 CB，則線段 的長度的取值范圍為GDEF? A. B. C. D. 【答】 （ A ,5??????1,25???????1,2??1,25??????）【解】建立直角坐標(biāo)系，以Ａ為坐標(biāo)原點，ＡＢ為 ｘ 軸，ＡＣ為 ｙ 軸，ＡＡ １ 為ｚ軸，則 （ ） ， ， ， （ ） 。所以1(,0)Ft1t?(0,)2E(,01)G2(,0)Dt21t?， 。因為 ，所以 ，由此推出 2E????GDt????EF?1??。又 ，2t12(,)t，從而有 。21DFt???? 221545()tt?????15DF???? ，則對任意實數(shù) ， 是??32()log1fxx,ab0?的0ab?A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也不必要條件 【答】 （ A ）【解】顯然 為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增。于是??322()log1fxx???若 ，則 ，有 ，即 ，從而有0ab??ab?()fab??()fafb??.()f高中數(shù)學(xué)競賽講義 27 反之，若 ，則 ,推出 ，即 ()0fab??()()fafb??ab??。0ab??6. 數(shù)碼 中有奇數(shù)個 9 的 2022 位十進(jìn)制數(shù) 的個數(shù)為123206,? 12306a? A． B． C． D． 06(8)2061(8)?2068?28?【答】 （ B ） 【解】出現(xiàn)奇數(shù)個 9 的十進(jìn)制數(shù)個數(shù)有。又由于 以及12053202056669C???? 206206(91)9kkC???，從而得2062066()(1)9kk????。20532020520666619(8)ACC?????二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）7. 設(shè) ，則 的值域是 。xxxf 44cossini)(??)(f【解】 。令 ，則21sini2x???sin2tx?。因此219() ()8fxgttt191m()0,84???tg。 即得 。1ma()0?????t 908fx8. 若對一切 R，復(fù)數(shù) 的模不超過 2，則實數(shù) 的取值??(cos)(2sin)zaa????a范圍為 .【解】依題意，得 2?22()(i)4?? （ ）2(cosin)35aa?? 2sin35a????1arcsin5??（對任意實數(shù) 成立） . 故 的取值范圍為 22???。5[, ]?河大附中校本課程 28 9. 已知橢圓 的左右焦點分別為 與 ，點 P 在直線 l：2164xy??1F2上. 當(dāng) 取最大值時，比 的值為 .3820xy???12FP?2【解】由平面幾何知，要使 最大，則過 ,P 三點的圓必定和直線 l 相切于1212P 點。設(shè)直線 l 交 x 軸于 A ，則 ，即 ，(83,0)?AF?12~?AFP即 （1） ，122PF又由圓冪定理， （2） ，1A??而 ， ，A ，從而有 ， 。1(23,0)F?2(3,0)(83,0)?18AF?243?代入（1） ， （2）得 。1122423PF???10. 底面半徑為 1cm 的圓柱形容器里放有四個半徑為 cm 的實心鐵球，四個球兩兩相1切，其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水 cm3.【解】設(shè)四個實心鐵球的球心為 ，其中 為下層兩球的球心，1234,O12,O分別為四個球心在底面的射影。則 ABCD 是一個邊長為 的正方形。,ABCD2所以注水高為 。故應(yīng)注水 ＝ ?！?1?3241(1)???????????()??11. 方程 的實數(shù)解的個數(shù)為 .20624204205()( 6xxxx??【解】 )1?高中數(shù)學(xué)競賽講義 29 242042051()()6xxx?????3052032022206x??? ?356 3xx??? A要使等號成立，必須　 ，即 。32050,x?? 1?但是 時，不滿足原方程。所以 是原方程的全部解。因此原方程的實數(shù)0?1解個數(shù)為 1 。12. 袋內(nèi)有 8 個白球和 2 個紅球，每次從中隨機(jī)取出一個球，然后放回 1 個白球，則第4 次恰好取完所有紅球的概率為 .【解】第 4 次恰好取完所有紅球的概率為=.2 2918918100010?????????????????三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13. 給定整數(shù) ，設(shè) 是拋物線 與直線 的一個交點. 試2n?),(0yxM2??nxyxy?證明對于任意正整數(shù) ，必存在整數(shù) ，使 為拋物線 與mk?),(0m12?k直線 ?【證明】 因為 與 的交點為 .顯然有 。12?nxy?204ny???0xn??若 為拋物線 與直線 的一個交點，則 .（10 分）),(0myx2kxyxy01mkx?記 ，則 ，　 　　　01mkx??1011()mmmkxknk????(2)?（）由于 是整數(shù)， 也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)1kn22200()kxx?河大附中校本課程 30 歸納法，通過（）式可證明對于一切正整數(shù) ， 是正整數(shù). 現(xiàn)在對m01mkx??于任意正整數(shù) ，取 ，使得 與 的交點為 . m01mkx??2?yy),(0myx（20 分）14. 將 2022 表示成 5 個正整數(shù) 之和. 記 . 問：12345,xx15ijijSx????（1）當(dāng) 取何值時，S 取到最大值；12345,x（2）進(jìn)一步地，對任意 有 ，當(dāng) 取何值時，S1,ij?2ijx?12345,xx取到最小值. 說明理由.【解】 （1） 首先這樣的 S 的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若, 且使 取到最大值，則必有12345206xx??15ijijx???? ………（5 分） (*),ijx?(,)事實上，假設(shè)（*）不成立，不妨假設(shè) 。12x?則令 ， , ( )1x??2x??ii??3,45有 ， 。將 S 改寫成2?112212xx??????1223453454x??15ijijSx???同時有 。2123453454()x????于是有 。這與 S 在 時取到最大值矛盾。所以必有0Sx????12,x . 因此當(dāng) 取到最大值。..10,ijx?(,5)ij 34501??分（2）當(dāng) 且 時，只有12345206x?2ijx??高中數(shù)學(xué)競賽講義 31 （I） 402， 402， 402， 400， 400；（II） 402， 402， 401， 401， 400；（III） 402， 401， 401， 401， 401； 三種情形滿足要求。 ……………………（15 分）而后面兩種情形是在第一組情形下作 ， 調(diào)整下得到的。根據(jù)1iix???jjx??上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式 變大。 15ijijS???所以在 情形取到最小值。 ………………（20 分）123450,0xx??15. 設(shè) . 記 ， ，()fa?1()ff1()()nnfxfx??2,3??，. 證明： .??R 2M??對 所 有 正 整 數(shù) ， ??????4 ,M【證明】 （１）如果 ，則 ， 。 ……………（5 分）2??1(0)|fa??（２）如果 ，由題意 ， , . 則124a???12()(0)nnffa??3,??① 當(dāng) 時， （ ）. 事實上，當(dāng) 時，0()2nf???1n, 設(shè) 時成立（ 為某整數(shù)） ，則對 ，1(0)2f?1nk?knk .2211(0)4kkffa???????????② 當(dāng) 時， （ ）.事實上，當(dāng) 時， , ?()nfn??1n?1(0)fa?設(shè) 時成立（ 為某整數(shù)） ，則對 ，有1nk?2k?k.注意到 當(dāng) 時,總有??212|(0)()affa??????2??，即 . 從而有 .由歸納法，推出 22| (0)|kfa?。1,4M???????（3）當(dāng) 時，記 ，則對于任意 ， 且a?(0)nf?1n?4na?河大附中校本課程 32 。對于任意 ，1 2(0)())nnnafffa????1n?, 則 。 所以，21 14nna????4na??。當(dāng) 時， ，1()???a?1()2na???即 。因此 。綜合（１） （２） （３） ，我們有 。 （20 分）1(0)2nf??aM?????????41 ,M2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案一、（本題滿分 50 分）以 和 為焦點的橢圓與 的邊 交于0B101AB?i。在 的延長線上任取點 ，以 為圓心， 為半徑作圓弧(0,1)iC?0AP0P