20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第三章第17課二次函數(shù)的綜合應(yīng)用-資料下載頁
2024-12-08 03:14本頁面
【導(dǎo)讀】決這類問題的一般步驟是：第一步：_________；第二步：________________；5．某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結(jié)600個(gè)橘子．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，與x的關(guān)系式分別為p＝500＋30x，q＝170－2x.每日產(chǎn)量為25只時(shí)，每日獲得的利潤是多少元？每日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？解：w＝xq－p＝－2x2＋140x－500.30－3x＝－3x2＋30x＝－3????∵－3<0，∴能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為75m2.x應(yīng)定為多少元？∴a＝－10＜0，對稱軸為直線x＝65，上結(jié)論請你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2200元？∴當(dāng)x＝時(shí)，y有最大值.
【正文】 ′＝BOAQ ′， 即314t2－ 2 t＝2t， ∴ t ＝ 0( 舍去 ) 或 t ＝ 14 ， ∴ 綜上所述 ， t ＝163或 t ＝323或 t ＝ 14. 題型四 二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合性問題 要點(diǎn)回顧： 二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合性問題 ， 往往涉及到利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式 ， 反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征 ，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法，平行四邊形的判定等知識，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié) 合、分類討論是解題的關(guān)鍵． 【例 4 】 (2021 咸寧 ) 如圖 ① ， 已知直線 y ＝ x ＋ 3 與 x 軸交于點(diǎn) A ， 與 y軸交于點(diǎn) B ， 將直線在 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折 ， 得到一個(gè)新函數(shù)的圖象 ( 圖中的 “ V 形折線 ” ) ． (1) 類比研究函數(shù)圖象的方法 ， 請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì) ， 并求新函數(shù)的表達(dá)式． (2) 如圖 ② ，雙曲線 y ＝kx與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn) C (1 ， a ) ， 點(diǎn) D 是線段 AC上一動(dòng)點(diǎn) ( 不包括端點(diǎn) ) ， 過點(diǎn) D 作 x 軸的平行線 ， 與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn) E ，與雙曲線交于點(diǎn) P . ( 例 4 題圖 ) ① 試求 △ P AD 的面積的最大值； ② 探索：在點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的過程中 ， 四邊形 P AEC 能否為平行四邊形？若能 ，求出此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不能 ， 請說明理由． 解析 (1) 根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì) ， 結(jié)合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質(zhì)；求新函數(shù)的表達(dá)式 ， 可分兩種情況進(jìn)行討論： ① x ≥ － 3 時(shí) ， 顯然 y ＝ x＋ 3 ； ② 當(dāng) x ＜－ 3 時(shí) ， 利用待定系數(shù)法求解． (2) ① 先把點(diǎn) C (1 ， a ) 代入 y ＝ x ＋ 3 ， 求出 C (1 ， 4 ) ， 再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式為 y ＝4x. 由點(diǎn) D 是線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn) ( 不包括端點(diǎn) ) ， 可設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m ， m ＋ 3) ， 且－ 3 ＜ m ＜ 1 ， 那么點(diǎn) P (4m ＋ 3， m ＋ 3) ， PD ＝4m ＋ 3－ m ， 再根據(jù)三角形的面積公式得出 △ P AD 的面積 S ， 然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解． ② 先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 AC 的中點(diǎn) D 的坐標(biāo) ， 再計(jì)算 DP ， DE 的長度 ， 如果 DP ＝ DE ， 那么根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形 P AEC 為平行四邊形；如果 DP ≠ DE ， 那么不是平行四邊形． 答案 (1) 新函數(shù)的兩條性質(zhì)如： ① 函數(shù)的最小值為 0 ； ② 函數(shù)圖象的對稱軸為直線 x ＝－ 3( 不唯一 ) ． 由題意得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( － 3 ， 0) ．分兩種情況： ① x ≥ － 3 時(shí) ， 顯然 y ＝ x ＋ 3 ； ② 當(dāng) x ＜－ 3 時(shí) ， 設(shè)其表達(dá)式為 y ＝ kx ＋ b . 在直線 y ＝ x ＋ 3 中 ， 當(dāng) x ＝－ 4 時(shí) ， y ＝－ 1 ， 則點(diǎn) ( － 4 ， － 1) 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 ( － 4 ， 1 ) ． 把點(diǎn) ( － 4 ， 1 ) ， ( － 3 ， 0 ) 的坐標(biāo)代入 y ＝ kx ＋ b ， 得??? － 4 k ＋ b ＝ 1 ，－ 3 k ＋ b ＝ 0 ，解得??? k ＝－ 1 ，b ＝－ 3. ∴ y ＝－ x － 3. 綜上所述 ， 新函數(shù)的表達(dá)式為 y ＝??? y ＝ x ＋ 3 （ x ≥ － 3 ） ，y ＝－ x － 3 （ x － 3 ） . (2) ①∵ 點(diǎn) C (1 ， a ) 在直線 y ＝ x ＋ 3 上 ， ∴ a ＝ 1 ＋ 3 ＝ 4. ∴ 點(diǎn) C (1 ， 4 ) ． ∵ 點(diǎn) C (1 ， 4 ) 在雙曲線 y ＝kx上 ， ∴ k ＝ 1 4 ＝ 4 ， ∴ y ＝4x. ∵ 點(diǎn) D 是線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn) ( 不包括端點(diǎn) ) ， ∴ 可設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m ， m ＋ 3) ， 且－ 3 ＜ m ＜ 1. ∵ DP ∥ x 軸 ， 且點(diǎn) P 在雙曲線上 ， ∴ 點(diǎn) P (4m ＋ 3， m ＋ 3) ， ∴ PD ＝4m ＋ 3－ m ， ∴△ P AD 的面積為 S ＝12(4m ＋ 3－ m ) ( m ＋ 3) ＝－12m2－32m ＋ 2 ＝－12( m ＋32)2＋258， ∵ a ＝－12＜ 0 ， ∴ 當(dāng) m ＝－32時(shí) ， S 有最大值 ， 為258. 又 ∵ － 3 ＜－32＜ 1 ， ∴△ P AD 的面積的最大值為258. ② 在點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的過程中 ， 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形．理由如下： 當(dāng)點(diǎn) D 為 AC 的中點(diǎn)時(shí) ， 其坐標(biāo)為 ( － 1 ， 2 ) ， 可得此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2 ，2 ) ， 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ( － 5 ， 2 ) ， ∵ DP ＝ 3 ， DE ＝ 4 ， ∴ EP 與 AC 不能互相平分 ， ∴ 四邊形 P AEC 不能為平行四邊形． 變式訓(xùn)練 4 (2021 杭州 ) 給出下列命題及函數(shù) y ＝ x ， y ＝ x2和 y ＝1x： ① 如果1a＞ a ＞ a2，那么 0 ＜ a ＜ 1 ； ② 如果 a2＞ a ＞1a， 那么 a ＞ 1 ； ③ 如果1a＞ a2＞ a ，那么－ 1 ＜ a ＜ 0 ； ④ 如果 a2＞1a＞ a 時(shí) ， 那么 a ＜－ 1. 則 ( ) ( 變式訓(xùn)練 4 題圖 ) A. 正確的命題是 ①④ B. 錯(cuò)誤的命題是 ②③④ C. 正確的命 題是 ①② D. 錯(cuò)誤的命題只有 ③ 解析 先確定出三函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1 ， 1 ) ， 再根據(jù)二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系求解即可． 易求得當(dāng) x ＝ 1 時(shí) ， 三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值都是 1 ， ∴ 交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1 ， 1 ) ． 根據(jù)對稱性 ， 知 y ＝ x 和 y ＝1x在第三象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( － 1 ， － 1) ， ① 如果1a＞ a ＞ a2， 那么 0 ＜ a ＜ 1 ， 正確； ② 如果 a2＞ a ＞1a，那么 a ＞ 1 或－ 1 ＜ a ＜ 0 ， 故命題錯(cuò)誤； ③ 如果1a＞ a2＞ a ， 那么 a 值不存在 ， 故命題錯(cuò)誤； ④ 如果 a2＞1a＞ a 時(shí) ， 那么 a ＜－ 1 ， 正確． 綜上所述 ， 正確的命題是 ①④ . 答案 A
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