高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：22等差數(shù)列(第2課時(shí))推薦-資料下載頁
2025-10-17 10:00本頁面
【正文】 等差數(shù)列①2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？為什么？ ②2an=an1+an+1(n1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？ ③2an=ank+an+k(nk0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？（2）在等差數(shù)列{an}中，d為公差，若m,n,p,q206。N+且m+n=p+q 求證：①am+an=ap+aq②ap=aq+(pq)dam+an=a1+(m1)d+a1+(n1)d=2a1+(m+n2)dap+aq=a1+(p1)d+a1+(q1)d=2a1+(p+q2)da+b2a+b2．證明：①設(shè)首項(xiàng)為a1，則∵ m+n=p+q∴am+an=ap+aq② ∵ap=a1+(p1)daq+(pq)d=a1+(q1)d+(pq)d=a1+(p1)d ∴ ap=aq+(pq)d探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系注意：（1）由此可以證明一個(gè)結(jié)論：設(shè){an}成AP，則與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，即：a1+an=a2+an1=a3+an2=LL，同樣：若m+n=2p 則 am+an=2ap（2）表示等差數(shù)列的各個(gè)點(diǎn)在一條直線上，這條直線的斜率是公差d三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維例1（教材P37例3）已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n1，求首項(xiàng) a1和公差d。解：a1=2180。11=1,a2=2180。21=3，∴d=a2a1=2或d=an+1an=2(n+1)1(2n1)=2，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n1，是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列的各點(diǎn)(n,an)均在直線y=2x1上（如圖）例2 ①在等差數(shù)列{an}中，a2+a7+a8+a13=6，求a6+a9．②在等差數(shù)列{an}中，a1a4a8a12+a15=2，求a3+a13的值。解：①由條件：a6+a9=a7+a8=a2+a13=3；②由條件：∵2a8=a1+a15=a4+a12∴a8=2∴a3+a13=2a8=4． 例3若 a1+a2+L+a5=30a6+a7+L+a10=80 求a11+a12+L+a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6=a1+a11,2a7=a2+a12……從而(a11+a12+L+a15)+(a1+a2+L+a5)=2(a6+a7+L+a10)∴a11+a12+L+a15=2(a6+a7+L+a10)(a1+a2+L+a5)=28030=130一般的：若{an}成等差數(shù)列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差數(shù)列例4 如圖，三個(gè)正方形的邊AB,BC,CD的長組成等差數(shù)列，且AD=21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的長；（2）以AB,BC,CD的長為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長的正方形的面積是多少？解：（1）設(shè)公差為d(d0)，BC=x則AB=xd,CD=x+dABCD236。(xd)+x+(x+d)=21236。x=7236。x=7由題意得：237。解得：237。 或237。（舍去）222d=4d=4(xd)+x+(x+d)=179238。238。238?！郃B=3(cm),BC=7(cm),CD=11(cm)（2）正方形的邊長組成已3為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列{an}，∴a10=3+(101)180。4=39，∴a10=392=1521(cm)2所求正方形的面積是1521(cm)2。四、鞏固深化，{an}中, 若 a5=6a8=15 求a14解：a8=a5+(85)d即 15=6+3d ∴ d=3從而 a14=a5+(145)d=6+9180。3=33 變題：在等差數(shù)列{an}中，（1）若a5=a，a10=b 求a15；（2）若a3+a8=m 求 a5+a6 解：（1）2a10=a5+a15 即2b=a+a15∴ a15=2ba；（2）a5+a6=a3+a8=m五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．A=a+b2219。a,A,b,成等差數(shù)列，等差中項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)意義2．在等差數(shù)列中，m+n=p+q222。am+an=ap+aq（m，n，p，q206。N+）3．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法。六、承上啟下，留下懸念{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋：由等差中項(xiàng)公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由條件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法1．定義法：即證明 anan1=d(常數(shù))例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n22n，求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。解：a1=S1=32=1當(dāng)n179。2時(shí)an=SnSn1=3n22n[3(n1)22(n1)]=6n5n=1時(shí) 亦滿足∴ an=6n5首項(xiàng)a1=1anan1=6n5[6(n1)5]=6(常數(shù))∴{an}成AP且公差為62．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若2b=a+c 則a,b,c成AP。例：已知1+ca+ba，1b，1c成AP，求證ba，c+b，ac也成AP。證明： ∵111成AP∴2+1a，b，cb=1ac化簡得：2ac=b(a+c)b+c2+a2+cac+a2+ca+a+ba+abb(a+c)c=bc+c+ac=ac=2ac=(a+c)+c)a+cb+ca+bac=(ab(a+c)=2b∴a，c+ab，c也成AP3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。例：設(shè)數(shù)列{a2n}其前n項(xiàng)和Sn=n2n+3，問這個(gè)數(shù)列成AP嗎？解：n=1時(shí) a1=S1=2n179。2時(shí) an=SnSn1=2n3,Qa1不滿足an=2n3∴ a236。2=1n=237。{a238。2n3nn179。2∴ 數(shù)列n}不成AP但從第2項(xiàng)起成AP。
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