蘇教版必修5高中數(shù)學341基本不等式的證明練習題-資料下載頁
2024-12-05 10:13本頁面
【導讀】a2＋b2≥2ab，那么2＋2≥2ab，即a＋b2≥ab，當且僅當a. 5．如下圖，在⊙O中，AB是圓的直徑，CD⊥AB于點D，由射影定理可知，CD2＝AD·DB，則CD＝AD·DB叫做AD、DB的幾何平均數(shù)，OC＝AD＋DB2叫做AD、DB的算術平均數(shù)．。由上圖可知，OC≥CD，當△ABC是等腰直角三角形時，有OC＝CD.解析：a、b同號時大于2，a、b異號時小于－2.①∵a，b∈R＋，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵x，y∈R＋，∴l(xiāng)gx＋lgy≥2lgx·lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；導過程是錯誤的；③由a∈R，不符合基本不等式的條件，④由xy＜0，得xy、yx均為負數(shù)，但在推導過程中將整體xy＋yx提出負號后，??????1a＋4b＝12(a＋b)＝12??????5＋ba＋4ab≥12＝92.當x≥2時，x＋1x的最小值為52，∴C錯誤；7．給出下列不等式：①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③??????解析：令a＝b＝1可知A，C不成立；又∵a＋b＝2，∴a2＋b2≥2.
【正文】 ?? ???a＋ b22＝ （ a－ b）24 ≥ 0， ∴ a＋ b2 ≤ a＋ b2 . ∴ a＋ b≤ 2（ a＋ b） ， 故 a＋ b≤ 2. ③ 項 ， ∵ a2＋ b22 ≥ ??????a＋ b22， ∴ a2＋ b2≥ （ a＋ b）22 . 又 ∵ a＋ b＝ 2， ∴ a2＋ b2≥ 2. ④ 項 ， ∵ a3＋ b3＝ (a＋ b)3－ 3a2b－ 3ab2＝ 8－ 3ab(a＋ b)＝ 8－ 6ab≥8 － 6＝ 2(由 ① ab≤1) ． ⑤ 項 ， 1a＋ 1b≥ 2ab≥ 2. 答案： ①③⑤ 15． 若不等式 |2a－ 1|≤ ??? ???x＋ 1x 對一切非零實數(shù) x 恒成立 ， 則實數(shù) a 的取值范圍是________． 解析： ∵ ??? ???x＋ 1x ＝ |x|＋ 1|x|≥ 2， 當且僅當 x＝ 177。1 時取 “ ＝ ” 號 ， ∴ 要使不等式恒成立 ， 必須且只需 |2a－ 1|≤2 ， 即－ 2≤2 a－ 1≤2 ?－ 12≤ a≤ 32. 答案： ??? ???－ 12， 32 三、解答題 16． (2021 新課標全國卷 Ⅱ) 設 a， b， c均 為正數(shù) ， 且 a＋ b＋ c＝ 1， 證明： (1)ab＋ bc＋ ca≤ 13； (2)a2b＋b2c＋c2a≥ 1. 證明： (1)由 a＋ b＋ c＝ 1?(a＋ b＋ c)2＝ 1， 即 a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac＝ 1， 而 a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca， ∴ 3(ab＋ bc＋ ca)≤1 ， 即 ab＋ bc＋ ca≤ 13. (2)∵ a2b＋ b≥2 a，b2c＋ c≥2 c，c2a＋ a≥2 c， 三式相加得a2b＋ b＋b2c＋ c＋c2a＋ a≥2 a＋ 2b＋ 2c，即 a2b＋b2c＋c2a≥ (a＋ b＋ c)＝ 1.
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