蘇教版選修2-1高中數(shù)學(xué)262求曲線的方程課后知能檢測-資料下載頁
2024-12-04 21:34本頁面
【導(dǎo)讀】由PA2＋PB2＝122，得(x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝122，即x2＋y2＝36.故所求動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程為x2＋y2＝36.即x0＝x2，y0＝y(tǒng)2，又2＋2＝9，設(shè)P(x，y)，由PA＝2PB，知x＋2＋y2＝2x－2＋y2，化簡整理，得(x－2)2＋y2＝4，所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓心為(2,0)，半徑為2的圓，此圓的面積為4π.點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱．若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是________．。由BP→＝2PA→及A、B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，知A，4＝1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，跡為雙曲線的一部分；設(shè)y＝4ax，則此方程表示拋物線的一部分；③正確，設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，因?yàn)镸A＝r＋1，面直角坐標(biāo)系(圖略)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示等式PA2＝PB2＋PC2，∴x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.一半，所得曲線設(shè)為E.
【正文】 上點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄们€設(shè)為 E. (1)求曲線 E的方程； (2)若曲線 E與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A(a,0)， B(－ a,0)， C(0， b)，其中 a0， b點(diǎn) C的直線 l與曲線 E交于另一點(diǎn) D，并與 x軸交于點(diǎn) P，直線 AC與直線 BD交于點(diǎn) P異于點(diǎn) B時(shí)，求證： OP→ OQ→ 為定值． 【解】 (1)設(shè)曲線 E上任一點(diǎn)為 M(x， y)，相應(yīng)圓上點(diǎn)為 N(x0， y0)， 由題意????? x0＝ xy0＝ 2yx20＋ y20＝ 4消去 x0， y0得 x24＋ y2＝ 1. (2)顯然 A(2,0)， B(－ 2,0)， C(0,1)．根據(jù)題意可設(shè)直線 l的方程為 y＝ kx＋ 1， 由????? y＝ kx＋ 1，x24＋ y2＝ 1. 可得 (4k2＋ 1)x2＋ 8kx＝ 0. 解得 x＝ 0或 x＝ － 8k4k2＋ 1，代入直線 l方程得 D點(diǎn)坐標(biāo) 為 (－ 8k4k2＋ 1， 1－ 4k24k2＋ 1)． 又直線 AC的方程為 x2＋ y＝ 1，直線 BD的方程為 y＝ 1＋ 2k2－ 4k(x＋ 2)， 聯(lián)立????? x2＋ y＝ 1，y＝ 1＋ 2k2－ 4k x＋ 解得????? x＝－ 4k，y＝ 2k＋ 1. 因此 Q(－ 4k,2k＋ 1)， 又 P(－ 1k， 0)， 所以 OP→ OQ→ ＝ (－ 1k， 0)( － 4k,2k＋ 1)＝ 4. 故 OP→ OQ→ 為定值．
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