【導讀】②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；①從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？總的來說，就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法.在運用排列、組合方法時，經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計數原理.這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來學習這兩個原理.有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學共有的，因此根據分類加法計數原理，解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；分步計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，才算完成這件事，是合作完成.

　　

【正文】 A 點執(zhí)行到結束．而第 1 步可由子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 來完成；第 2 步可由子模塊 4 或子模塊 5 來完成．因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數原理． 解：由分類加法計數原理，子模塊 1 或子模塊 2 或子模塊 3 中的子路徑共有 18 + 45 + 28 = 91 （條） 。 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有 38 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計數原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有 91 81 = 7 371（條） . 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊．這樣，他可以先分別單獨測試 5 個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常．總共需要的測試次數為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第 1 步中 的各個子模塊和第 2 步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數為 3 2=6 . 如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常．這樣，測試整個模塊的次數就變?yōu)? 172 + 6=178（次） . 顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的． 你看出了程序員是如何實現減少測試次數的嗎？ 例 ，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有 3個不重復的英文字母和 3 個不重復的阿拉伯數字，并且 3 個字母必須合成一組出現， 3個數字也必須合成一組出現．那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？ 分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個牌照的字母和數字可以分 6個步驟． 解：將汽車牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時，分 6個步驟確定一個牌照的字母和數字： 第 1步，從 26個字母中選 1個，放在首位，有 26種選法； 第 2步，從剩下的 25個字母中選 1個，放在第 2位，有 25種選法； 第 3步，從剩下的 24個字母中選 1個，放在第 3位，有 24種選法； 第 4步，從 10個數字中選 1個，放在第 4 位，有 10種選法； 第 5步，從剩下的 9個數字中選 1個，放在第 5位，有 9種選法； 第 6步，從剩下的 8個字母中選 1個，放在第 6位，有 8種選法． 根據分步乘法計數原理，字母組合在左的牌照共有 26 25 24 10 9 8=11 232 000（個） . 同理，字母組合在右的牌照也有 11232 000 個． 所以，共能給 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個） . 輛汽車上牌照． 用兩個計數原理解決 計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析 ― 需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．分步要做到“步驟完整” ― 完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數． 練習 1． 乘積 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5) ( ) ( )a a a b b b c c c c c? ? ? ? ? ? ? ?（ 展開后共有多少項？ [來源 :學科網 ZXXK] 2． 某電話局管轄范圍內的電話號碼由八位數字組成，其中前 四位的數字是不變的，后四位數字都是。到 9 之間的一個數字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？ 3． 從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？ 4． 某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？ 鞏固 練習： 課外作業(yè) ： 例 ,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？ 解 :從總體上看 ,如 ,螞蟻從頂點 A爬到頂點 C1有三類方法 ,從局部上看每類又需兩步完成 ,所以 , 第一類 , m1 = 1 2 = 2 條 第二類 , m2 = 1 2 = 2 條 第三類 , m3 = 1 2 = 2 條 所以 , 根據加法原理 , 從頂點 A到頂點 C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條 例 2 .如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 解 : 按地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域依次分四步完成 , 第一 步 , m1 = 3 種 , 第二步 , m2 = 2 種 , 第三步 , m3 = 1 種 , 第四步 , m4 = 1 種 , 所以根據乘法原理 , 得到不同的涂色方案種數共有 N = 3 2 1 1 = 6 變式 1，如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是 2種， 4種， 5種又會什么樣的結 果呢？ 75600有多少個正約數 ?有多少個奇約數 ? 解 :由于 75600=24 33 52 7 (1) 75600 的每個約數都可以寫成 lkjl 7532 ??? 的形式 , 其中40??i , 30 ??j , 20 ??k , 10 ??l 于是 ,要確定 75600的一個約數 ,可分四步完成 ,即 lkji , 分別在各自的范圍內任取一個值 ,這 樣 i 有 5種取法 ,j 有 4種取法 ,k 有 3種取法 ,l 有 2種取法 ,根據分步計數原理得約數的個數為 5 4 3 2=120個 . 鞏固 練習： ,從甲地到乙地有 2條路可通 ,從乙地到丙地有 3條路可通 。從甲地到丁地有 4條路可通 , 從丁地到丙地有 2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 3本不同的數學書， 5本不同的語文書， 6本不 同的英語書． （ 1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ [來源 :學科網 ] （ 2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （ 3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？ ,要給① ,② ,③ ,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色 ,則不同涂色方法種數為 () A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 奎屯王新敞 新疆 若變?yōu)閳D二 ,圖 三呢 ? ，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們① ③ ④ ② ① ② ③ ④ ④ ③ ② ① 圖一 圖二 圖三 爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 6．若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（ C ） A． 5 部分 部分 部分 部分 課外 作業(yè)：第 10 頁 習題 1. 1 6 , 7 , 8 教學反思 ： 課堂小結 1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想 . 2．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區(qū)別 分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事 . 3．運用分類加法計數原理與分步乘法計數原理的注 意點： 分類 加法計數原理： 首先確定分類標準 ， 其次滿足 ： 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類 ， 并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法 ， 即 不重不漏 . 分步 乘法計數原理： 首先確定分步標準 ， 其次滿足 ： 必須并且只需連續(xù)完成這 n個步驟 ，這件事才算完成 . 分配問題 把一些元素分給另一些元素來接受．這是排列組合應用問題中難度較大的一類問題．因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位．而我們所學的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了． 事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素．例如，把 10個全排列，可以理解為在 10 個人旁邊，有序號為 1， 2，??， 10 的 10 把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對眼花繚亂的常見分配問題，可歸結 為以下小的“方法結構”： ① .每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是 mnA，這里 nm? .其中 m是“接受單位 ” 的個數。至于誰是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要 nm? .個數為 m 的一個元素就是“接受單位”，于是，方 法還可以簡化為 A少多.這里的“多”只要 ?“少” . ② .被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿 ” ,并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以 kkA .