【正文】 他可以先分別單獨(dú)測(cè)試 5 個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常．總共需要的測(cè)試次數(shù)為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第 1 步中 的各個(gè)子模塊和第 2 步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為 3 2=6 . 如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常．這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)? 172 + 6=178（次） . 顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的． 你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？ 例 ，某城市家庭汽車(chē)擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車(chē)牌照號(hào)碼需交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車(chē)牌照組成辦法，每一個(gè)汽車(chē)牌照都必須有 3個(gè)不重復(fù)的英文字母和 3 個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且 3 個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)， 3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種辦法共能給多少輛汽車(chē)上牌照？ 分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類(lèi)，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字可以分 6個(gè)步驟． 解：將汽車(chē)牌照分為 2 類(lèi)，一類(lèi)的字母組合在左，另一類(lèi)的字母組合在右．字母組合在左時(shí)，分 6個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字： 第 1步，從 26個(gè)字母中選 1個(gè)，放在首位，有 26種選法； 第 2步，從剩下的 25個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第 2位，有 25種選法； 第 3步，從剩下的 24個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第 3位，有 24種選法； 第 4步，從 10個(gè)數(shù)字中選 1個(gè)，放在第 4 位，有 10種選法； 第 5步，從剩下的 9個(gè)數(shù)字中選 1個(gè)，放在第 5位，有 9種選法； 第 6步，從剩下的 8個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第 6位，有 8種選法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有 26 25 24 10 9 8=11 232 000（個(gè)） . 同理，字母組合在右的牌照也有 11232 000 個(gè)． 所以，共能給 11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個(gè)） . 輛汽車(chē)上牌照． 用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決 計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析 ― 需要分類(lèi)還是需要分步．分類(lèi)要做到“不重不漏”．分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整” ― 完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立．分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． 練習(xí) 1． 乘積 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5) ( ) ( )a a a b b b c c c c c? ? ? ? ? ? ? ?（ 展開(kāi)后共有多少項(xiàng)？ [來(lái)源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] 2． 某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由八位數(shù)字組成，其中前 四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。 子模塊 4 或子模塊 5 中的子路徑共有 38 + 43 = 81 （條） . 又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑共有 91 81 = 7 371（條） . 在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊．這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試 5 個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常．總共需要的測(cè)試次數(shù)為 18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第 1 步中的各個(gè)子模塊和第 2 步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為 3 2=6 . 如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么 整個(gè)程序模塊就工作正常．這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)? 172 + 6=178（次） . 顯然， 178 與 7371 的差距是非常大的． 你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？ 鞏固 練習(xí)： ,從甲地到乙地有 2條路可通 ,從乙地到丙地有 3條路可通 。 ( 2 ）從書(shū)架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書(shū)，可以分成 3 個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書(shū)，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取 1 本文藝書(shū)，有 3 種方法；第 3 步從第 3 層取 1 本體育書(shū)，有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 1 2 3N m m m? ? ? =4 3 2=24 . （ 3） 26232434 ???????N 。 ( 2 ）從書(shū)架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書(shū)，可以分成 3 個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書(shū)，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取 1 本文藝書(shū)，有 3 種方法；第 3 步從第 3 層取 1 本體育書(shū)，有 2 種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù) 是 1 2 3N m m m? ? ? =4 3 2=24 . （ 3） 26232434 ???????N 。至于誰(shuí)是“接受單位”，不要管它在生活中原來(lái)的意義，只要 nm? .個(gè)數(shù)為 m 的一個(gè)元素就是“接受單位”，于是，方 法還可以簡(jiǎn)化為 A少多.這里的“多”只要 ?“少” . ② .被分配元素和接受單位的每個(gè)成員都有“歸宿 ” ,并且不限制一對(duì)一的分配問(wèn)題，方法是分組問(wèn)題的計(jì)算公式乘以 kkA . 。 ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有＿條． 2．現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生 3 名，高二年級(jí)的學(xué)生 5 名，高三年級(jí)的學(xué)生 4 名． ( 1 ）從中任選 1 人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 ( 2 ）從 3 個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選 1 人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 3．在例 1 中，如果數(shù)學(xué)也是 A 大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，則 A 大學(xué)共有 6 個(gè)專(zhuān)業(yè)可以選擇， B 大學(xué)共有 4 個(gè)專(zhuān)業(yè)可以 選擇，那么用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇共有 6 + 4 = 10 （種） . 這種算法有什么問(wèn)題？ 例 ，需要用 3 個(gè)字符，其中首字符要求用字母 A～ G 或 U～ Z , 后兩個(gè)要求用數(shù)字 1～ 9．問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？ 分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第 1 步，選首字符；第 2 步，選中間字符；第 3 步，選最后一個(gè)字符．而首字符又可以分為兩類(lèi)． 解 ：先計(jì)算首字符的選法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有 7 + 6 = 13 種選法． 再計(jì)算可能的不同程序名稱(chēng) ．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，最多可以有 13 9 9 = = 1053 個(gè)不同 的名稱(chēng)，即最多可以給 1053 個(gè)程序命名． 例 6. 核糖核酸（ RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個(gè) RNA 分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱(chēng)為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)． 總共有 4 種不同的堿基，分別用 A,C,G,U表示．在一個(gè) RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)．假設(shè)有一類(lèi) RNA 分子由 100 個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的 RNA 分子？ 分析 ：用圖 1. 1一 2 來(lái)表示由 100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，這時(shí)我們共有 100個(gè)位置，每個(gè)位置都可以從 A , C , G , U 中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)． 解 ： 100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有 100個(gè)位置，如圖 1 . 1一 2所示．從左到右依次在每一個(gè)位置中，從 A , C , G , U 中任選一個(gè)填人，每個(gè)位置有 4 種填充方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，長(zhǎng)度為 100 的所有可能的不同 RNA 分子數(shù)目有 1001004 4 4 4? ? ? ?（個(gè)） 例 與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有 O 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由 8 個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成．問(wèn)： (1）一個(gè)字節(jié)（ 8 位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？ (2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（ GB 碼）包含了 6 763 個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？ 分析 ：由于每個(gè)字節(jié)有 8 個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有 0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解本題． 解： (1）用圖 3 來(lái)表示一個(gè)字節(jié)． 圖 1 . 1 一 3 一個(gè)字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示 2 2 2 2 2 2 2 2= 28 =256 個(gè)不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠 6 763 個(gè)，我們就考慮用 2 個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符．前一個(gè)字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個(gè) 字節(jié)也有 256 種表示方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理， 2個(gè)字節(jié)可以表示 256 256 = 65536 個(gè)不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù) 6 763．所以要表示這些漢字，每個(gè)漢字至少要用 2 個(gè)字節(jié)表示． 例 編程人員在編寫(xiě)好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般