【正文】 一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事 . 3．運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注 意點： 分類 加法計數(shù)原理： 首先確定分類標準 ， 其次滿足 ： 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類 ， 并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法 ， 即 不重不漏 . 分步 乘法計數(shù)原理： 首先確定分步標準 ， 其次滿足 ： 必須并且只需連續(xù)完成這 n個步驟 ，這件事才算完成 . 分配問題 把一些元素分給另一些元素來接受．這是排列組合應用問題中難度較大的一類問題．因為這涉及到兩類元素：被分配元素和接受單位．而我們所學的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了． 事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素．例如，把 10個全排列，可以理解為在 10 個人旁邊，有序號為 1， 2，??， 10 的 10 把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。到 9 之間的一個數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？ 3． 從 5 名同學中選出正、副組長各 1 名，有多少種不同的選法？ 4． 某商場有 6 個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？ 鞏固 練習： 課外作業(yè) ： 例 ,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？ 解 :從總體上看 ,如 ,螞蟻從頂點 A爬到頂點 C1有三類方法 ,從局部上看每類又需兩步完成 ,所以 , 第一類 , m1 = 1 2 = 2 條 第二類 , m2 = 1 2 = 2 條 第三類 , m3 = 1 2 = 2 條 所以 , 根據(jù)加法原理 , 從頂點 A到頂點 C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條 例 2 .如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 解 : 按地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域依次分四步完成 , 第一 步 , m1 = 3 種 , 第二步 , m2 = 2 種 , 第三步 , m3 = 1 種 , 第四步 , m4 = 1 種 , 所以根據(jù)乘法原理 , 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 1 1 = 6 變式 1，如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是 2種， 4種， 5種又會什么樣的結 果呢？ 75600有多少個正約數(shù) ?有多少個奇約數(shù) ? 解 :由于 75600=24 33 52 7 (1) 75600 的每個約數(shù)都可以寫成 lkjl 7532 ??? 的形式 , 其中40??i , 30 ??j , 20 ??k , 10 ??l 于是 ,要確定 75600的一個約數(shù) ,可分四步完成 ,即 lkji , 分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值 ,這 樣 i 有 5種取法 ,j 有 4種取法 ,k 有 3種取法 ,l 有 2種取法 ,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為 5 4 3 2=120個 . 鞏固 練習： ,從甲地到乙地有 2條路可通 ,從乙地到丙地有 3條路可通 。從甲地到丁地有 4條路可通 , 從丁地到丙地有 2條路可通。 ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有＿條． 第二課時 2 分步乘法計數(shù)原理 （ 1）提出問題 [來 問題 ： 用前 6個大寫英文字母和 1— 9九個阿拉伯數(shù)字，以 1A , 2A ,?， 1B , 2B ,?的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？ 用列舉法可以列出所有可能的號碼： 我們還可以這樣來思考：由于前 6 個英文字母中的任意一個都能與 9 個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有 6 9 = 54 個不同的號碼． 探究： 你能說 說這個問題的特征嗎？ （ 2）發(fā)現(xiàn)新知 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第 1類方案中有 m 種不同的方法，在第 2類方案中有 n 種不同的方法 . 那么完成這件事共有 nmN ?? 種不同的方法 . （ 3）知識應用 例 30名，女生 24名 . 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？ 分析 ：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟．第 l 步選男生．第 2步選女 生． 解 ：第 1 步，從 30 名男生中選出 1人，有 30 種不同選擇； 第 2 步，從 24 名女生中選出 1人 ， 有 24 種不同選擇． 根 據(jù)分步乘法計 數(shù) 原 理， 共 有 30 24 =720 種不 同的選法 ． 探究 ： 如果完成一件事需要三個步驟，做第 1步有 1m 種不同的方法，做第 2步有 2m 種不同的方法，做第 3步有 3m 種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？ 如果完成一件事情需要 n 個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？ 一般歸納： 完成一件事情 ，需要分成 n個步驟，做第 1步 有 1m 種不同的方法 ，做 第 2步 有 2m 種不同的方法 ?? 做 第 n步 有 nm 種不同的方法 .那么 完成這件事共有 nmmmN ??????? 21 種不同的方法 . 理解分步乘法計數(shù)原理： 分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各 個步驟都完成后，才算完成這件事 . 3．理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成 . 例 2 .如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 解 : 按地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域依次分四步完成 , 第一步 , m1 = 3 種 , 第二步 , m2 = 2 種 , 第三步 , m3 = 1 種 , 第四步 , m4 = 1 種 , 所以根據(jù)乘法原理 , 得到不同的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 1 1 = 6 變式 1，如圖 ,要給地圖 A、 B、 C、 D四個區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種 ,允許同一種顏色使用多次 ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 ,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是 2種， 4種， 5種又會什么樣的結果呢？ 練習 2．現(xiàn)有高一年級的學生 3 名，高二年級的學生 5 名，高三年級的學生 4 名． ( 1 ）從中任選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 ( 2 ）從 3 個年級的學生中各選 1 人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？ 第三課時 3 綜合應用 例 1. 書架的第 1層放有 4本不同的計算機書，第 2層放有 3本不同的文藝書，第 3層放 2本不同的體育書 . ①從書架上任取 1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第 3層各取 1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 【分析】 ①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應用分類計數(shù)原理 . ②要完成的事是“從書架的第 3 層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有 第 3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應用分步計數(shù)原理 . ③要完成的事是“取 2本不同學科的書”，先要考慮的是取哪兩個學科的書，如取計算機和文藝書各 1本，再要考慮取 1本計算機書或取 1本文藝書都只完成了這 件事的一部分，應用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應運用分類計數(shù)原理 . 解 ： (1) 從書架上任取 1本書，有 3 類方法：第 1 類方法是從第 1 層取 1 本計算機書，有 4 種方法；第 2 類方法是從第 2 層取 1 本文藝書，有 3 種方法；第 3 類方法是從第 3 層取 1 本體育書，有 2 種方法．根據(jù)分類加法