【導(dǎo)讀】數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模。如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系及空間形式的科學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅。學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等多種能力。數(shù)學(xué)也一直被視為傳統(tǒng)的基礎(chǔ)學(xué)科，在小學(xué)和中學(xué)階段都作。為必修課來設(shè)置。近半個(gè)多世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的。為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立常常既需。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作精神。更重要的是訓(xùn)練人的邏輯思維和開放性思考方式。榮獲國家級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)有利于保送研究生、有利于申請(qǐng)出國留學(xué)。根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。合理性和適用性。際含義，并進(jìn)行解釋。應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。最大的高水平大學(xué)生學(xué)術(shù)賽事。競賽要求3個(gè)以下本科未畢業(yè)學(xué)生在3天時(shí)間內(nèi)用數(shù)學(xué)建模及其

　　

【正文】 容切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中，以教材為載體，以改革教學(xué)方法為突破口，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造達(dá)到在學(xué)中用，在用中學(xué)． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 37 訓(xùn)練閱讀能力，熟練基本模式 解答應(yīng)用問題就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)答案，然后再把數(shù)學(xué)答案返回到實(shí)際問題中去獲取具有實(shí)際意義的結(jié)論，基本程序如下 : 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 38 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要內(nèi)容 雖然說 , 建模的內(nèi)容是廣泛的社會(huì)實(shí)際問題 , 但中學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是根據(jù)學(xué)生的年齡特征和知識(shí)水平開展的 , 主要的是涉及下面幾個(gè)方面的內(nèi)容 : (1) 與函數(shù)、方程 (組 )、不等式有關(guān)的問題 , 涉及路程、物價(jià)、產(chǎn)量、工程造價(jià)、土地丈量、利潤等可以通過建立函數(shù)或方程、不等式的代數(shù)模型解決的實(shí)際問題 . (2) 與數(shù)列有關(guān)有問題 , 涉及到住房、產(chǎn)量、土地、增長率、銀行貸款、分期付款等可以通過建立數(shù)列的代數(shù)模型解決的實(shí)際問題 . (3) 與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用 , 涉及物理學(xué)科中的擺動(dòng)、振動(dòng)以及實(shí)際測量等可以通過建立三角函數(shù)的三角模型解決的問題 . (4) 與幾何相關(guān)的問題 , 涉及觀測、地球的經(jīng)緯度、面積、體積、容量等立體幾何問題 , 以及油罐車、通風(fēng)塔、拋物線拱橋、人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道、反光燈、橋梁等實(shí)際問題 , 可以建立幾何模型解決 . 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 39 中學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)例 (1) 建立方程 ( 組 ) 模型 在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在等量關(guān)系，如 : 行程問題、工程問題、航行問題、勞力調(diào)配問題、數(shù)字問題、形積變化問題、銷售問題、配套問題、經(jīng)濟(jì)問題 等等，都可以建立方程 ( 組 )模型來解決． 例 1 某服裝商店出售優(yōu)惠購物卡，花 200 元買了這種卡后，憑卡可在這家商店按八折購物． 問 : 累計(jì)購物多少元時(shí)買卡與不買卡一樣 ? 什么情況下買卡購物合算 ? 解 設(shè)累計(jì)購物 x 元時(shí)，買卡與不買卡一樣． 依題意，得 0. 8x + 200 = x，解得 x = 1000． 答 : 當(dāng)累計(jì)購物 1000 元時(shí)，買卡與不買卡一樣．當(dāng)累計(jì)購物超過 1000 元時(shí)，買卡購物合算． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 40 (2) 建立不等式 ( 組 ) 模型 在市場經(jīng)營，生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中，常把實(shí)際問題中隱含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式 ( 組 ) 求解． 例 2 某工廠現(xiàn)有甲種原料 360 kg，乙種原料 290 kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品共 50 件． 已知生產(chǎn) 1 件 A 種產(chǎn)品需甲種原料 9 kg、乙種原料 3 kg，生產(chǎn) 1 件 B種產(chǎn)品需甲種原料 4 kg、乙種原料 10 kg． 請(qǐng)你提出安排生產(chǎn)的方案． 解 設(shè)安排生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 x 件，則 B 種產(chǎn)品 ( 50 － x) 件．依題意，得 9x + 4( 50 － x) ≤360， 3x + 10( 50 － x) ≤290 ， 解得 30≤x≤32． ∵ x 是整數(shù)， ∴ 取 x = 30， 31， 32． ∴ 對(duì)應(yīng)的 50 － x = 20， 19， 18． 答 : 有 3 種方案，① 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 30 件， B 種產(chǎn)品 20件． ② 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 31 件， B 種產(chǎn)品 19 件． ③ 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 32 件， B 種產(chǎn)品 18 件． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 41 (3) 建立函數(shù)模型 在現(xiàn)實(shí)生活中，普遍存在 最優(yōu)化問題 ，如 造價(jià)、用料最少、利潤最大 等，都可以建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題． 例 3 A 城有化肥 200 噸， B 城有化肥 300 噸，現(xiàn)要把這些化肥全部運(yùn)往 C，D 兩鄉(xiāng)． 從 A 城往 C， D 兩鄉(xiāng)調(diào)動(dòng)化肥的費(fèi)用分別為每噸 30 元和 40 元，從B 城往 C， D 兩鄉(xiāng)調(diào)動(dòng)化肥的費(fèi)用分別為每噸 45 元和 60 元． 已知 C 鄉(xiāng)需化肥 240噸， D 鄉(xiāng)需化肥 260 噸． 問 : 如何調(diào)動(dòng)可使總運(yùn)費(fèi)最省 ? 解 設(shè)從 A 城調(diào) x 噸到 C 鄉(xiāng)，總運(yùn)費(fèi)為 y 元．依題意，得 y = 30x + 40( 200 － x) + 45( 240 － x) + 60( 60 + x)= 5x + 22400． ∵ x≥0， 200 － x≥0， 240 － x≥0， 60 + x≥0 ， ∴ 0≤x≤200． ∵ k = 5 ＞ 0， ∴ y 隨著 x 的增大而增大． ∴ 當(dāng) x = 0 時(shí)， y最小 = 22400． ∴ 200 － x = 200， 240 － x = 240， 60 + x = 60． 答 : 最省運(yùn)費(fèi)的調(diào)動(dòng)方案 : 把 A 城的 200 噸化肥全部調(diào)往 D 鄉(xiāng) 。 把 B 城的化肥調(diào) 60 噸到 D 鄉(xiāng)，調(diào) 240 噸到 C 鄉(xiāng)． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 42 (4) 建立幾何模型 諸如 航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋設(shè)計(jì) 等應(yīng)用問題，涉及一定圖形性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角問題求解． 例 4 入夏以來，某江的水位不斷下降，達(dá)到歷史最低水位，一條船在該江某水段自西向東沿直線航行，在 A 處測得航標(biāo) C 在北偏東 60176。 方向上，前進(jìn) 100 米到達(dá) B 處，又測得航標(biāo) C 在北偏東 45176。 方向上，如圖所示，在以航標(biāo) C 為圓心， 120 米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn) ? 解 過點(diǎn) C 作 CD⊥ AB 于 D， 則 ∠ 1 = 30176。 ， ∠ 2 = 45176。 ， AB = 100． 設(shè) CD = x 米，則 BD = CD = x．在 Rt△ ACD 中， AD = 100 + x． ∵ tan∠ 1 = CD/AD， ∴ tan30176。 = x/(100 + x)， ∴ 解得 x ≈. ∵ ＞ 120， ∴ 這條船繼續(xù)前進(jìn)沒有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) xx?? 1003343 (5) 建立直角坐標(biāo)系模型 當(dāng) 變量的變化具有 ( 近似 ) 函數(shù)關(guān)系 ，或 物體運(yùn)動(dòng)軌跡是有某種規(guī)律 ，可通過建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題求解． 例 5 如圖是一座拋物線的拱橋，橋下水面寬度AB 是 20 米，拱高 CD 是 4 米，若水面上升 3 米至EF，則水面寬度 EF 是多少 ? 解 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)拋物線解析式為 把 B( 10， 0) 代入，得 100a + 4 = 0． ∴ a = (1/ 125)， ∴ 當(dāng) y = 3 時(shí) , 解得 x = 177。 5． ∴ EF = 10． 答 : 水面寬度 EF 是 10 米． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 42 ?? axy4251 2 ?? x