【正文】 32 教師自身意識的提高 ? 為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數(shù)學教師應首先需要提高自己的建模意識． 這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新． ? 中學數(shù)學教師除需要了解數(shù)學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學習一些新的數(shù)學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數(shù)學知識應用于現(xiàn)實生活． 例如 ：將“傳統(tǒng)型福利彩票”和“樂透型福利彩票”的中獎概率問題引入概率部分的教學中，將會取得較好的教學效果． 4. 如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識 33 用好課堂這一“主戰(zhàn)場” 數(shù)學建模教學應結合正常的數(shù)學內容進行切入，用好課堂這一“主戰(zhàn)場”，把培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識落實到平時的教學過程中． 俗話說 : “臺上三分鐘，臺下十年功”，要想在課堂上取得好的教學效果，課后就要深入鉆研教材，挖掘教材中所蘊涵的數(shù)學建模教學的素材． 例如 : (1) 平均增長率問題 ，包括產(chǎn)量、繁殖、資金、利率、衰變、裂變等，可以建立冪、指、對數(shù)函數(shù)或方程模型． (2) 最大最小問題 ，包括面 ( 體 ) 積最大 ( 小 ) 、用料最省、費用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型． (3) 行程、工程、濃度問題 ，可以建立方程 ( 組 ) 、不等式 ( 組 ) 模型． (4) 拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星軌道問題 ，可以建立二次曲線模型． (5) 測量問題 ，可以建立解三角形模型． (6) 計數(shù)問題 ，可以建立排列組合模型． (7) 下料等優(yōu)化問題 ，可以建立線性規(guī)劃模型． 4. 如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識 34 理論與實踐相結合 ? 在教學中還要開展專題討論與建模法研究． 我們可以選擇適當?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！?、“圖解法建?！薄ⅰ爸?( 曲 ) 線擬合法建?！钡? ? 通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法． ? 另外，適時地設計一些活動，讓學生進行建模練習，例如 : 請你到有關部門查詢你所在城市 2021 年初的常住人口數(shù)與流動人口數(shù)，以及它們相應的人口年增長率，然后預測按這樣的增長率，到 2050 年初該市擁有的人口數(shù)． ( 把整個活動過程寫成小論文形式交流 ) 4. 如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識 35 理論與實踐相結合 再如 ，在等比數(shù)列教學中，可以設計以下活動 : 請你利用課余時間到附近的銀行調查降息前后銀行的利息變化，并考慮向銀行以按揭貸款 20 年的方式歸還款項的 5 年期和 10 年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和各降低了多少． ( 要求以小論文形式做出，每組推薦一名同學在課堂上發(fā)言 ) 這樣的活動很多，如可以讓家中做生意的同學調查物品進價、售價與銷售量的關系，尋找模擬函數(shù)，并計算物品的最佳售價，等等． 讓學生走出課堂，親自發(fā)現(xiàn)和設計問題，從而讓學生嘗到數(shù)學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長知識、積累經(jīng)驗． 4. 如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識 36 消除心理障礙，增強學生學好數(shù)學的自信心 許多學生一見應用題文字長，連題目都沒有看完，就望而生畏，置之不理． 所以，我們要求學生要樹立信心，不能隨意放棄． 在平時教學中，有目的、有計劃地加一些應用題進行分析，每次考試也盡可能地考查一道與復習內容相關的應用題，幫助學生消除心理障礙． 緊扣教材，合理選材，適時切入 中學數(shù)學建模教學應結合正常的教學內容切入，把培養(yǎng)應用數(shù)學的意識落實在平時的教學過程中，以教材為載體，以改革教學方法為突破口，通過對教學內容的科學加工、處理和再創(chuàng)造達到在學中用，在用中學． 5. 如何開展數(shù)學建模教學 37 訓練閱讀能力，熟練基本模式 解答應用問題就是在閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題轉化為數(shù)學問題，建立相應的數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識對數(shù)學模型進行分析、研究，得到數(shù)學答案，然后再把數(shù)學答案返回到實際問題中去獲取具有實際意義的結論，基本程序如下 : 5. 如何開展數(shù)學建模教學 38 中學數(shù)學建模教學的主要內容 雖然說 , 建模的內容是廣泛的社會實際問題 , 但中學數(shù)學建?；顒邮歉鶕?jù)學生的年齡特征和知識水平開展的 , 主要的是涉及下面幾個方面的內容 : (1) 與函數(shù)、方程 (組 )、不等式有關的問題 , 涉及路程、物價、產(chǎn)量、工程造價、土地丈量、利潤等可以通過建立函數(shù)或方程、不等式的代數(shù)模型解決的實際問題 . (2) 與數(shù)列有關有問題 , 涉及到住房、產(chǎn)量、土地、增長率、銀行貸款、分期付款等可以通過建立數(shù)列的代數(shù)模型解決的實際問題 . (3) 與三角函數(shù)有關的應用 , 涉及物理學科中的擺動、振動以及實際測量等可以通過建立三角函數(shù)的三角模型解決的問題 . (4) 與幾何相關的問題 , 涉及觀測、地球的經(jīng)緯度、面積、體積、容量等立體幾何問題 , 以及油罐車、通風塔、拋物線拱橋、人造地球衛(wèi)星運行軌道、反光燈、橋梁等實際問題 , 可以建立幾何模型解決 . 5. 如何開展數(shù)學建模教學 39 中學數(shù)學建模實例 (1) 建立方程 ( 組 ) 模型 在現(xiàn)實生活中廣泛存在等量關系，如 : 行程問題、工程問題、航行問題、勞力調配問題、數(shù)字問題、形積變化問題、銷售問題、配套問題、經(jīng)濟問題 等等，都可以建立方程 ( 組 )模型來解決． 例 1 某服裝商店出售優(yōu)惠購物卡，花 200 元買了這種卡后，憑卡可在這家商店按八折購物． 問 : 累計購物多少元時買卡與不買卡一樣 ? 什么情況下買卡購物合算 ? 解 設累計購物 x 元時，買卡與不買卡一樣． 依題意，得 0. 8x + 200 = x，解得 x = 1000． 答 : 當累計購物 1000 元時，買卡與不買卡一樣．當累計購物超過 1000 元時，買卡購物合算． 5. 如何開展數(shù)學建模教學 40 (2) 建立不等式 ( 組 ) 模型 在市場經(jīng)營，生產(chǎn)決策和社會生活中，常把實際問題中隱含的數(shù)量關系轉化為不等式 ( 組 ) 求解． 例 2 某工廠現(xiàn)有甲種原料 360 kg，乙種原料 290 kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品共 50 件． 已知生產(chǎn) 1 件 A 種產(chǎn)品需甲種原料 9 kg、乙種原料 3 kg，生產(chǎn) 1 件 B種產(chǎn)品需甲種原料 4 kg、乙種原料 10 kg． 請你提出安排生產(chǎn)的方案． 解 設安排生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 x 件，則 B 種產(chǎn)品 ( 50 － x) 件．依題意，得 9x + 4( 50 － x) ≤360， 3x + 10( 50 － x) ≤290 ， 解得 30≤x≤32． ∵ x 是整數(shù)， ∴ 取 x = 30， 31， 32． ∴ 對應的 50 － x = 20， 19， 18． 答 : 有 3 種方案，① 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 30 件， B 種產(chǎn)品 20件． ② 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 31 件， B 種產(chǎn)品 19 件． ③ 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 32 件， B 種產(chǎn)品 18 件． 5. 如何開展數(shù)學建模教學 41 (3) 建立函數(shù)模型 在現(xiàn)實