【正文】 32 教師自身意識(shí)的提高 ? 為了培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)首先需要提高自己的建模意識(shí)． 這不僅意味著我們?cè)诮虒W(xué)內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學(xué)觀念的更新． ? 中學(xué)數(shù)學(xué)教師除需要了解數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展歷史和發(fā)展動(dòng)態(tài)之外，還需要不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活． 例如 ：將“傳統(tǒng)型福利彩票”和“樂透型福利彩票”的中獎(jiǎng)概率問題引入概率部分的教學(xué)中，將會(huì)取得較好的教學(xué)效果． 4. 如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí) 33 用好課堂這一“主戰(zhàn)場(chǎng)” 數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入，用好課堂這一“主戰(zhàn)場(chǎng)”，把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)落實(shí)到平時(shí)的教學(xué)過程中． 俗話說 : “臺(tái)上三分鐘，臺(tái)下十年功”，要想在課堂上取得好的教學(xué)效果，課后就要深入鉆研教材，挖掘教材中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材． 例如 : (1) 平均增長(zhǎng)率問題 ，包括產(chǎn)量、繁殖、資金、利率、衰變、裂變等，可以建立冪、指、對(duì)數(shù)函數(shù)或方程模型． (2) 最大最小問題 ，包括面 ( 體 ) 積最大 ( 小 ) 、用料最省、費(fèi)用最低、效益最好等，可以建立函數(shù)或不等式模型． (3) 行程、工程、濃度問題 ，可以建立方程 ( 組 ) 、不等式 ( 組 ) 模型． (4) 拱橋、炮彈發(fā)射、衛(wèi)星軌道問題 ，可以建立二次曲線模型． (5) 測(cè)量問題 ，可以建立解三角形模型． (6) 計(jì)數(shù)問題 ，可以建立排列組合模型． (7) 下料等優(yōu)化問題 ，可以建立線性規(guī)劃模型． 4. 如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí) 34 理論與實(shí)踐相結(jié)合 ? 在教學(xué)中還要開展專題討論與建模法研究． 我們可以選擇適當(dāng)?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！?、“圖解法建?！?、“直 ( 曲 ) 線擬合法建?！钡? ? 通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學(xué)建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法． ? 另外，適時(shí)地設(shè)計(jì)一些活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)行建模練習(xí)，例如 : 請(qǐng)你到有關(guān)部門查詢你所在城市 2021 年初的常住人口數(shù)與流動(dòng)人口數(shù)，以及它們相應(yīng)的人口年增長(zhǎng)率，然后預(yù)測(cè)按這樣的增長(zhǎng)率，到 2050 年初該市擁有的人口數(shù)． ( 把整個(gè)活動(dòng)過程寫成小論文形式交流 ) 4. 如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí) 35 理論與實(shí)踐相結(jié)合 再如 ，在等比數(shù)列教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)以下活動(dòng) : 請(qǐng)你利用課余時(shí)間到附近的銀行調(diào)查降息前后銀行的利息變化，并考慮向銀行以按揭貸款 20 年的方式歸還款項(xiàng)的 5 年期和 10 年期的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和各降低了多少． ( 要求以小論文形式做出，每組推薦一名同學(xué)在課堂上發(fā)言 ) 這樣的活動(dòng)很多，如可以讓家中做生意的同學(xué)調(diào)查物品進(jìn)價(jià)、售價(jià)與銷售量的關(guān)系，尋找模擬函數(shù)，并計(jì)算物品的最佳售價(jià)，等等． 讓學(xué)生走出課堂，親自發(fā)現(xiàn)和設(shè)計(jì)問題，從而讓學(xué)生嘗到數(shù)學(xué)建模成功的“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長(zhǎng)知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)． 4. 如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí) 36 消除心理障礙，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心 許多學(xué)生一見應(yīng)用題文字長(zhǎng)，連題目都沒有看完，就望而生畏，置之不理． 所以，我們要求學(xué)生要樹立信心，不能隨意放棄． 在平時(shí)教學(xué)中，有目的、有計(jì)劃地加一些應(yīng)用題進(jìn)行分析，每次考試也盡可能地考查一道與復(fù)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用題，幫助學(xué)生消除心理障礙． 緊扣教材，合理選材，適時(shí)切入 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中，以教材為載體，以改革教學(xué)方法為突破口，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造達(dá)到在學(xué)中用，在用中學(xué)． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 37 訓(xùn)練閱讀能力，熟練基本模式 解答應(yīng)用問題就是在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)答案，然后再把數(shù)學(xué)答案返回到實(shí)際問題中去獲取具有實(shí)際意義的結(jié)論，基本程序如下 : 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 38 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主要內(nèi)容 雖然說 , 建模的內(nèi)容是廣泛的社會(huì)實(shí)際問題 , 但中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是根據(jù)學(xué)生的年齡特征和知識(shí)水平開展的 , 主要的是涉及下面幾個(gè)方面的內(nèi)容 : (1) 與函數(shù)、方程 (組 )、不等式有關(guān)的問題 , 涉及路程、物價(jià)、產(chǎn)量、工程造價(jià)、土地丈量、利潤(rùn)等可以通過建立函數(shù)或方程、不等式的代數(shù)模型解決的實(shí)際問題 . (2) 與數(shù)列有關(guān)有問題 , 涉及到住房、產(chǎn)量、土地、增長(zhǎng)率、銀行貸款、分期付款等可以通過建立數(shù)列的代數(shù)模型解決的實(shí)際問題 . (3) 與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用 , 涉及物理學(xué)科中的擺動(dòng)、振動(dòng)以及實(shí)際測(cè)量等可以通過建立三角函數(shù)的三角模型解決的問題 . (4) 與幾何相關(guān)的問題 , 涉及觀測(cè)、地球的經(jīng)緯度、面積、體積、容量等立體幾何問題 , 以及油罐車、通風(fēng)塔、拋物線拱橋、人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道、反光燈、橋梁等實(shí)際問題 , 可以建立幾何模型解決 . 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 39 中學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)例 (1) 建立方程 ( 組 ) 模型 在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在等量關(guān)系，如 : 行程問題、工程問題、航行問題、勞力調(diào)配問題、數(shù)字問題、形積變化問題、銷售問題、配套問題、經(jīng)濟(jì)問題 等等，都可以建立方程 ( 組 )模型來解決． 例 1 某服裝商店出售優(yōu)惠購(gòu)物卡，花 200 元買了這種卡后，憑卡可在這家商店按八折購(gòu)物． 問 : 累計(jì)購(gòu)物多少元時(shí)買卡與不買卡一樣 ? 什么情況下買卡購(gòu)物合算 ? 解 設(shè)累計(jì)購(gòu)物 x 元時(shí)，買卡與不買卡一樣． 依題意，得 0. 8x + 200 = x，解得 x = 1000． 答 : 當(dāng)累計(jì)購(gòu)物 1000 元時(shí)，買卡與不買卡一樣．當(dāng)累計(jì)購(gòu)物超過 1000 元時(shí)，買卡購(gòu)物合算． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 40 (2) 建立不等式 ( 組 ) 模型 在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)，生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中，常把實(shí)際問題中隱含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式 ( 組 ) 求解． 例 2 某工廠現(xiàn)有甲種原料 360 kg，乙種原料 290 kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品共 50 件． 已知生產(chǎn) 1 件 A 種產(chǎn)品需甲種原料 9 kg、乙種原料 3 kg，生產(chǎn) 1 件 B種產(chǎn)品需甲種原料 4 kg、乙種原料 10 kg． 請(qǐng)你提出安排生產(chǎn)的方案． 解 設(shè)安排生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 x 件，則 B 種產(chǎn)品 ( 50 － x) 件．依題意，得 9x + 4( 50 － x) ≤360， 3x + 10( 50 － x) ≤290 ， 解得 30≤x≤32． ∵ x 是整數(shù)， ∴ 取 x = 30， 31， 32． ∴ 對(duì)應(yīng)的 50 － x = 20， 19， 18． 答 : 有 3 種方案，① 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 30 件， B 種產(chǎn)品 20件． ② 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 31 件， B 種產(chǎn)品 19 件． ③ 生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 32 件， B 種產(chǎn)品 18 件． 5. 如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué) 41 (3) 建立函數(shù)模型 在現(xiàn)實(shí)