【導(dǎo)讀】ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AD、CD的中點，則△OEF. 14．若m1，m2，?m2021中，取值為2的個數(shù)為．。16．已知：在△ABC中，AC=，BC=2，AB=，E、F均在直線AB上，且AE=AC，∠ECF=45°，17．計算：﹣14+（π﹣2）0﹣2+2﹣1；接受隨機抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為，圖①中m的值為；在本次調(diào)查中，學(xué)生鞋號的眾數(shù)為號，中位數(shù)為號；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，若該年級計劃購買100雙運動鞋，建議購買35號運動鞋多少雙？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°22．“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a、b、c，分別為2，3，3個單位長度的一個三角形，請列舉出所有滿足條件的三角形；24．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB為直徑的⊙O與BC邊相交于點。不存在，說明理由；若⊙Q過點B、C且與過A平行于x軸的直線相切，求⊙Q的半徑；若A點坐標(biāo)為，求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；C、應(yīng)為a6÷a3=a3，故本選項錯誤；

　　

【正文】 的性質(zhì)得到 DE=BF， CE=EF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 BF=8，根據(jù)切割線定理即可得到結(jié)論； （ 3）連接 OG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 ∠ ABG=∠ CDF=30176。 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠ OGB=∠ OBG=30176。 ，求得 ∠ BOG=120176。 ，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論． 【解答】（ 1）證明：如圖 1，連接 AD， OD； ∵ AB為 ⊙ O的直徑， ∴∠ ADB=90176。 ， 即 AD⊥ BC； ∵ AB=AC， ∴ BD=DC． ∵ OA=OB， ∴ OD∥ AC． ∵ DE⊥ AC， ∴ DE⊥ OD． ∴∠ ODE=∠ DEA=90176。 ， ∴ DE為 ⊙ O的切線； （ 2）如圖， 2，連接 BF， ∵ AB為 ⊙ O的直徑， ∴∠ AFB=90176。 ， ∴ BF∥ DE， ∵ CD=BD， ∴ DE= BF， CE=EF， ∵∠ A=30176。AB=16 ， ∴ BF=8， ∴ DE=4， ∵ DE為 ⊙ O的切線， ∴ ED2=EF?AE， ∴ 42=CE?（ 16﹣ CE）， ∴ CE=8﹣ 4 ， CE=8+4 （不合題意舍去）， （ 3）如圖 3，連接 OG， ∵∠ CFD=∠ ABD， ∴∠ C=∠ CFD= =75176。 ， ∴∠ CDF=30176。 ， ∵ BG∥ DF， ∴∠ ABG=∠ CDF=30176。 ， ∵ OG=OB， ∴∠ OGB=∠ OBG=30176。 ， ∴∠ BOG=120176。 ， ∴ 的長度 = = ． 【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，切割線定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 25．（ 12分）（ 2021?泰州校級三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A（ 0，﹣ 3），點 B（ m，1）， C（ m+4， 1）； （ 1） △ ABC的面積； （ 2）若點 P（ 0， n）在 x 軸下方，是否存在 m 使 得 ∠ BPC=90176。 ？若存在，求 n 的取值；若不存在，說明理由； （ 3）若 ⊙ Q過點 B、 C且與過 A平行于 x軸的直線相切，求 ⊙ Q的半徑； （ 4）直接寫出 sin∠ BAC的最大值． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（ 1）由題意得出 BC∥ x軸， BC=4， △ ABC中 BC邊上的高 =4，即可求出 △ ABC的面積； （ 2）由題意得出 m＜ 0， B 在第二象限，則 BD=﹣ m， CD=4+m， PD=1﹣ m，由射影定理得出方程，由 △＜ 0，得出方程 2m2+2m+1=0無實數(shù)根，即可得出結(jié)論； （ 3）作 QM⊥ BC于 M，由垂徑定理得出 BM=CM= BC=2，由切線的性質(zhì)得出 QM=4﹣ R，由勾股定理得出方程，解方程即可； （ 4）當(dāng) ∠ BAC最大時， sin∠ BAC的值最大，此時 y軸是 BC的垂直平分線，則 BD=CD= BC=2，AD=4，由勾股定理求出 AB=AC=2 ，作 BN⊥ AC與 N，由 △ ABC 的面積求出 BN，再由三角函數(shù)即可得出 sin∠ BAC的最大值． 【解答】解：（ 1） ∵ A（ 0，﹣ 3），點 B（ m， 1）， C（ m+4， 1）， ∴ BC∥ x軸， BC=4， △ ABC中 BC邊上的高 =1+3=4， ∴△ ABC的面積 = 4 4=8； （ 2）若點 P（ 0， m）在 x軸下方，不存在 m使得 ∠ BPC=90176。 ；理由如下： ∵ 點 P（ 0， m）在 x軸下方， ∴ m＜ 0，則 B在第二象限，如圖 1所示： 則 BD=﹣ m， CD=4+m， PD=1﹣ m， ∵ BC∥ x軸， ∴∠ CDP=90176。 ， 若 ∠ BPC=90176。 ，由射影定理得： PD2=BD?CD， 即（ 1﹣ m） 2=﹣ m（ 4﹣ m）， 整理得： 2m2+2m+1=0， ∵△ =22﹣ 4 2 1＜ 0， ∴ 方程 2m2+2m+1=0無實數(shù)根， ∴ 若點 P（ 0， m）在 x軸下方，不存在 m使得 ∠ BPC=90176。 ； （ 3）若 ⊙ Q過點 B、 C且與過 A平行于 x軸的直線相切，如圖 2所示： 作 QM⊥ BC于 M，則 BM=CM= BC=2， 設(shè) ⊙ Q的半徑為 R，則 QM=4﹣ R， BQ=R， 由勾股定理得： BM2+（ 4﹣ R） 2=R2， 解得： R= ， 即 ⊙ Q的半徑為 ； （ 4） sin∠ BAC的最大值為 ；理由如下： 當(dāng) ∠ BAC最大時， sin∠ BAC的值最大，此時 y軸是 BC的垂直平分線，如圖 3所示： 則 BD=CD= BC=2， AD=1+3=4， AB=AC= =2 ， 作 BN⊥ AC與 N， ∵△ ABC的面積 = AC?BN=8， 即 2 BN=8， 解得： BN= ， ∴ sjn∠ BAC= = = ， 即 sin∠ BAC的最大值為 ． 【點評】本題是圓的綜合題目，考查了垂徑定理、切線的性質(zhì)、勾股定理、射影定理、一元二次方程根的判別式、三角形面積的計算以及三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，需要通過作輔助線運用垂徑定理和勾股定理才能得出結(jié)果． 26．已知，點 A在二次函數(shù) （ a為常數(shù)， a＜ 0）的圖象上， A點橫坐標(biāo)為 m，邊長為 1的正方形 ABCD中， AB⊥ x軸，點 C在點 A的右下方． （ 1）若 A點坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ ），求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)； （ 2）若二次函數(shù)圖象與 CD邊相交于點 P（不與 D點重合），用含 a、 m的代數(shù)式表示 PD的長，并求 a﹣ m的范圍 （ 3）在（ 2）的條件下，將二次函數(shù)圖象在正方形 ABCD內(nèi)（含邊界）的部分記為 L， L對應(yīng)的函數(shù)的最小值為﹣ ，求 a與 m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 m的范圍． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）將 A點坐代入解析式直接求出． （ 2）求出 P、 D、 C三點的縱坐標(biāo)，根據(jù) P點要處在 C、 D之間列出不等式組即可解決問題． （ 3） L 對應(yīng)的函數(shù)的最小值為﹣ ，即點 P 的縱坐標(biāo)的值為﹣ ，由此列出關(guān)系式，即可解決問題．再結(jié)合（ 2）的結(jié)果，列出不等式確定 m的范圍． 【解答】解：（ 1） ∵ 點 A（﹣ 2，﹣ ）在二次函數(shù) y= ﹣ ax﹣ （ a為常數(shù)， a＜ 0）的 圖象上， ∴ ﹣ =2+2a﹣ ，解得： a=﹣ ， ∴ 二次函數(shù)的解析式為 y= + x﹣ = ﹣ ， ∴ 當(dāng) A點坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ ）時，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）． （ 2） ∵ A點的橫坐標(biāo)為 m，正方形 ABCD邊長為 1， ∴ A（ m， m2﹣ am﹣ ）， B（ m， m2﹣ am﹣ ）， C（ m+1， m2﹣ am﹣ ）， D（ m+1， m2﹣ am﹣ ）， P（ m+1， （ m+1） 2﹣ a（ m+1）﹣ ）， ∵ m2﹣ am﹣ ≤ （ m+1） 2﹣ a（ m+1）﹣ ， 解得： a﹣ m≤ ， ∵ （ m+1） 2﹣ a（ m+1）﹣ ＜ m2﹣ am﹣ ， 解得： a﹣ m＞ ， 綜上 所述， ＜ a﹣ m≤ ． （ 3） ∵ L對應(yīng)的函數(shù)的最小值為﹣ ， ∴ （ m+1） 2﹣ a（ m+1）﹣ =﹣ ， ∴ （ m+1） 2﹣ 2a（ m+1） =0． ∴ （ m+1）（ m+1﹣ 2a） =0， 由圖象 可知點 P不在 y軸上， ∴ m≠ ﹣ 1， ∴ a= 由（ 2）可知， ＜ ﹣ m≤ 且 ＜ 0， 解得﹣ 2≤ m＜ ﹣ 1． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在特定范圍內(nèi) 的增減性、不等式與不等式組等重要知識點，有一點綜合性，難度不大，但解法巧妙．第（ 2）問的關(guān)鍵是利用函數(shù)增減性列出不等式組，第（ 3）問的關(guān)鍵是利用（ 2）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為不等式確定自變量取值范圍，屬于中考壓軸題．