新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式測試題-資料下載頁
2025-11-21 14:39本頁面
【導(dǎo)讀】1利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“nn?2<n+1”時，由“假設(shè)n=k時命題成立”到“當(dāng)n=k+1時”，(n≥2)，從k到k+1需在不等式兩邊加上。即當(dāng)n=k+1時,原不等式成立，由1°、2°,可知對任意n∈N,原不等式成立.8已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n>1且n∈N時，試證明an+>2bn.設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時，有ak+ck>2bk.由于a,c為正數(shù)，所以與a-c同號，即(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack,xn<xn+1，或者對任意n∈N都滿足xn>xn+1.故xn+1-xn與1-xn2同號，于是應(yīng)分x1<1與x1>1兩種情況討論.若x1<1,用數(shù)歸納法證明1-xn2>0.10求證：n≥3時，因為（k+1）2k+2=k+1>k+1,這就證明了③式.1+a,求證：對一切自然數(shù)n，有1<an<a?
【正文】 aa. (1)求證： an2且 an+1an。 (2)證明 a1+a2+…+a n2(n+a2). 證明： (1)an+1=)1(22?nnaa0,∴ an1. ∴ an2=)1(2 )2(2)1(2 121121????? ???? nnnn aaaa≥0. ∴ an≥ ak=2,則 ak1=2,由此可推出 ak2=2,…,a 1=2,此與 a1=a2矛盾，故 an2. ∵ an+1an=)1(2 )2( ??n nn a aa0,∴ an+1an. (2)由題（ 1）得 an2=2 2122 2 1111 ?????? ???? nnnn aaaa, ∴ an211221 2 22 22 2 ??? ?????? nnn aaa ?(n≥2). ∴ (a12)+(a22)+…+(a n2)≤(a2)(1+4121?+…+121?n) =(a2)211211?? n =2(a2)(1n21)2(a2). ∴ a1+a2+…+a n2(n+a2). 15已知 f(x)=2x3ax2,g1(x)=f(x),當(dāng) n≥2且 n∈ N*時， gn(x)=f［ gn1(x)］ . (1)若 f(1)=1且對任意 n∈ N*,都有 gn（ x0） =x0,求所有 x0組成的集合； （ 2）若 f(1)3，是否存在區(qū)間 A,對 n∈ N*,當(dāng)且僅當(dāng) x∈ A 時，就有 gn(x)0?如果存在，求出這樣的區(qū)間 A。如果不存在，說明理由 . 解析： （ 1）由 f(1)=1? 1=2a? a=1. ∴ f(x)= n=1時， g1(x0) =f(x0)=2x03x02=x0? x0(2x02x01)=0, ∴ x0=0或 x0=1或 x0=21 .由題設(shè) ,g2(x0)=f［ g1(x0)］ =f(x0)=x0,假設(shè) gk(x0)=x0,當(dāng) n=k+1時， gk+1(x0)=f［ gk(x0)］ =f(x0)=x0, ∴ gn(x0)=x0對 n=k+1時也成立 . ∴ 當(dāng) x0滿足 g1(x0)=x0時，就有 gn(x0)=x0. ∴ 所有 x0組成的集合為 {0,1, 21? }. (2)若 f(1)=2a3? a g1(x)=f(x)=2x3ax20,得 x2(2xa)0? x 2a ,對于 n≥2,gn(x)0? f［ gn1(x)］ 0? gn1(x)2a . ∴ 若對 n∈ N*有 gn(x)0,必須且只需 g1(x)0.∴ A=(∞,2a ).
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