考研數(shù)學(xué)串講線性代數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-06-20 23:06本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】法來(lái)個(gè)整理和總結(jié).全局性的,宏觀上的.定理,命題,性質(zhì)等不講證明等細(xì)節(jié),看作用和應(yīng)用.突出要點(diǎn),重點(diǎn),考點(diǎn),不求全面.突出縱向聯(lián)系,不顧及先后順序.本部分是全課程的基礎(chǔ),特別是計(jì)算的基礎(chǔ).本部分概念多而且雜,因此考點(diǎn)多而碎.線性方程組的解的情況討論和求解.對(duì)增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換.初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩.在中,只可用行變換,決不可用列變換.在中兩類變換都可以用,表示可交替使用.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一的.例1設(shè)3階矩陣A有3個(gè)特征向量，TTT)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(321?????????階梯形矩陣的秩就是它的非零行的個(gè)數(shù).階梯形矩陣,其非零行數(shù)就是r(?AB的列向量組為?n的線性組合,組合的系數(shù)就是。例7設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=aA+ab?在AB=BA的條件下證明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.
【正文】 ( ??? bEAaEA ,其中 ba? .證明 : (1) A 可對(duì)角化 . (2) nbEAraEAr ???? )()( . 三 . 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 實(shí)對(duì) 稱矩陣特征值都是實(shí)數(shù) ,它一定可對(duì)角化 ,并且屬于不同特征值的特征向量互相正交 ,從而可以用正交矩陣將其對(duì)角化 ,即如果 A 是 實(shí)對(duì)稱矩陣 ,則存在正交矩陣 Q ,使得 A1? 是對(duì)角矩陣 . 例 37 設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的秩為 2,又 6 是它的二重特征值 ,向量 T(1,1,0) 和 T(2,1,1) 和T(1,2,3) 都 是屬于 6的特征向量 . (1)求 A 的另一個(gè)特征值與相應(yīng)的特征向量 . (2)求 A .(04四 ) 四 . 實(shí) 二次型用正交變換標(biāo)準(zhǔn)化 這是常見的考試題 . 設(shè) n元二次型 AXXxxxf Tn ?),( 21 ? (A 是一個(gè)實(shí) 對(duì)稱矩陣 ), 用正交變換將它標(biāo)準(zhǔn)化即 : 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 11 ① 構(gòu)造正交矩陣 Q ,使得 AA T??1 是對(duì)角矩陣 . ② 作正交變換 QYX? ,則它把 ),( 21 nxxxf ? 化為標(biāo)準(zhǔn)二次型 AQYQY TT . 例 38已知二次型 21232221321 )1(22)1()1(),( xxaxxaxaxxxf ??????? 的秩為 2. (1)求 a. (2)求作正交變換 QYX? ,把 ),( 321 xxxf 化為標(biāo)準(zhǔn)形 . (3)求方程 0),( 321 ?xxxf 的解 . 解 (1) ),( 321 xxxf 的矩陣 A 為??????????????200011011aaaa , 由2)( ?Ar 知 0?A ,由此求出 0?a . (2) 第一步先 求特征值 ???????????200011011A ,求出其特征值為 2,2,0. 然后作 3個(gè)單位正交的特征向量 求屬于 2的特征向量 : ?????????? ????????????????0000000110000110112 AE , T(1,1,0) 和 T(0,0,1) 是屬于 2 的兩個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量 ,它們是正交的 ,單位化得到 T)0,2/2,2/2( 和 T(0,0,1) . 求屬于 0的特征向量 : ?????????? ????????????????????0001000112000110110 AE T(1,1,0) 是屬于 0 的的特征向量 , 單位化 : T)0,2/2,2/2( ? 構(gòu)造正交矩陣 ??????????????0102/202/22/202/2Q ,則 Q 使得 AT 是對(duì)角矩陣 ,對(duì)角線上的元素為 2,2,0. 作正交變換 QYX? ,它把 ),( 321 xxxf 化為 2221 22 yy ? . (3) 2322121232221321 2)(22),( xxxxxxxxxxxf ??????? , 于是 0),( 321 ?xxxf 即 0,0 321 ??? xxx ,從而 0),( 321 ?xxxf 的通解為 c(c,c,0), 任意 . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 12 五 . 慣性指數(shù)和規(guī)范形 實(shí) 二次型的正 (負(fù) )慣性指數(shù)就是它化出的規(guī)范 (標(biāo)準(zhǔn) )二次型的正 (負(fù) )平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) . 實(shí)對(duì) 稱矩陣 A 的正 (負(fù) )慣性指數(shù)也就是它的正 (負(fù) )特征值的個(gè)數(shù) . 于是 ,兩個(gè)實(shí)對(duì) 稱矩陣合同 ? 它們的正 (負(fù) )特征值的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等 . 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似 ? 它們的特征值完全相同 . 例 39 設(shè) A 是一個(gè)可逆 實(shí)對(duì)稱矩陣，記 ijA 是它的代數(shù)余子式 . 二次型 iinjiijn xxAAxxxf ??? 1,21 ||),( ?. (1)用矩陣乘積的形式寫出此二次型 . (2) ),( 21 nxxxf ? 的規(guī)范形和 AXXT 的規(guī)范形是否相同 ?為什么 ?(01三 ) 例 40設(shè) ?????????????1111111111111111A ?????????????0000000000000004B ,則 (A)A 與 B 既合同又相似 . (B) A 與 B 合同但不相似 . (C) A 與 B 不合同但相似 . (D) A 與 B 既不合同又不相似 . 六 . 正定問(wèn)題 實(shí) 二次型 AXXxxxf Tn ?),( 21 ? 正定即 :當(dāng) 0?X 時(shí) , AXXT 一定 0. 實(shí)對(duì)稱矩陣 A 正定即當(dāng) 0?X 時(shí) , AXXT 一定 0. 實(shí) 對(duì)稱矩陣 A 正定 ? 合同于單位矩陣 . ? 存在可逆矩 C ,使得 CCA T? . ? A 的特征值都是正數(shù) . ? A 的順序主子式全大于 0. 判斷正定性的方法 : 順序主子式法 ,特征值法 ,定義法 . 例 41 設(shè) A 是 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 ,滿足 022 ?? AA ,并且 2)( ?Ar . (1) 求 A 的特征值 . (2) 當(dāng)實(shí)數(shù) k滿足什么條件時(shí) kEA? 正定 ?(02三 ) ??????? BC CAD T 例 42 設(shè) ??????? BC CADT為正定 矩 陣 ,其中 BA, 分別為 m,n階對(duì)稱矩陣 ,C 為 m?n矩陣 . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 13 (1)計(jì)算 DPPT ,其中 ?????? ?? ?nm E CAEP 0 1 (2) 利用 (1)的結(jié)果 ,判斷 CACB T 1?? 是否為正定 矩陣 ,并證明你的結(jié)論 . 解 (1) ?????????????? ????????????? ?????CACBAE CAEBCCAE CAEDPP TnmTTnmT 111 0 000 (2)因?yàn)?D 為正定 矩陣 ,P 是實(shí)可逆矩陣 ,所以 DPPT 正定 . 用特征值法 : DPPT 正定 ,它的特征值都大于 DPPT 的特征多項(xiàng)式等于 A 的特征多項(xiàng)式和 CACB T 1?? 的特征多項(xiàng)式的乘積 ,從而 CACB T 1?? 的特征值也是 DPPT 的特征值 ,都大于 0,于是 矩陣 CACB T 1?? 正定 .
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