【正文】 性相關(guān)。又線性無(wú)關(guān),. 的基礎(chǔ)解系。 的一個(gè)特解. 所以線性方程組的通解為任意常數(shù). 方法二:,得 的通解為任意常數(shù). 【注意】的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為,其中為未知量的個(gè)數(shù). 104.(2002—Ⅰ)設(shè)為同階方陣, （1）如果相似,試證的特征多項(xiàng)式相等. （2）舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明（1）的逆命題不成立. （3）當(dāng)均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),試證（1）的逆命題成立. 【考點(diǎn)】矩陣相似的概念。特征多項(xiàng)式的概念。實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化理論. 解 (1) 相似,則存在可逆矩陣,使得,則 (2)令,若相似,則存在可逆矩陣,使得,矛盾. (3) 當(dāng)均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),分別存在可逆矩陣,使得 和.故相似. 【注意】與單位矩陣相似的矩陣只能是單位矩陣. 105.(2002—Ⅱ)已知為3階矩陣,且滿足,其中是3階單位矩陣. （1）證明:矩陣可逆。（2）若,求矩陣. 【考點(diǎn)】抽象矩陣可逆的判別。解矩陣方程. 證 (1)由可逆,且 (2)由(1)得. 106.(2002—Ⅲ)設(shè)齊次線性方程組 ,方程組僅有零解、有無(wú)窮多組解?在有無(wú)窮多組解時(shí),求出全部解,并用基礎(chǔ)解系表示全部解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的齊次線性方程組解的討論。行列式的計(jì)算. 解 特殊情形. . (1) 方程組僅有零解且。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多組解,通解為 為任意常數(shù)。 (3)當(dāng)時(shí), 方程組有無(wú)窮多組解,通解為為任意常數(shù). 【注意】此題為什么不采用一般情形下的方法一,請(qǐng)讀者自己思考. 107.(2002—Ⅲ)設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足條件,已知的秩. （1）求的全部特征值。 （2）當(dāng)為何值時(shí),矩陣為正定矩陣,其中為三階單位矩陣. 【考點(diǎn)】實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)。特征值的計(jì)算公式。正定矩陣的判別定理. 解 (1)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且,則有兩個(gè)不為零的特征值,由. (2) 的特征值為,則為正定矩陣. 108.(2002—Ⅳ)設(shè)四元齊次線性方程組(Ⅰ)為且已知另一四元齊次線性方程組(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 (1)求方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 (2)當(dāng)為何值時(shí),方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解時(shí),求出全部非零公共解. 【考點(diǎn)】齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。兩個(gè)線性方程組公共解的討論. 解 (1),則方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系 (2)將(Ⅱ)的通解代入線性方程組(Ⅰ),(Ⅰ)與(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),有非零解,(Ⅰ)與(Ⅱ)的非零公共解為為不全為零的任意常數(shù). 109.(2002—Ⅳ)設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣,求可逆矩陣,使為對(duì)角矩陣,并計(jì)算行列式的值. 【考點(diǎn)】矩陣的對(duì)角化過(guò)程. 解 ,則的特征值. 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量。 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量. 令,則. 又的特征值為,則. 110.(2003—Ⅰ)設(shè)矩陣,求的特征值與特征向量,其中是的伴隨矩陣,為3階單位矩陣. 【考點(diǎn)】特征值與特征向量的計(jì)算。相似矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系. 解 ,則 即為的屬于特征值的特征向量. ,則的特征值. 的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,其全部特征向量為為不全為零的常數(shù)。 的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量,其全部特征向量為為不為零的常數(shù). 【注意】本題也可以先求,再直接計(jì)算的特征值與特征向量. 111.(2003—Ⅰ,Ⅱ)已知平面上三條不同直線的方程分別為 試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為. 【考點(diǎn)】線性方程組解的理論. 證 三條直線交于一點(diǎn)有非零解,其中 是三條不同直線,則不全相等). 【注意】也可根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)有惟一解證明. 112.(2003—Ⅱ)若矩陣相似于對(duì)角矩陣,試確定常數(shù)的值。并求可逆矩陣,使. 【考點(diǎn)】矩陣的對(duì)角化理論及過(guò)程. 解 ,則屬于有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量。 的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量. 令,則可逆,且. 113.(2003—Ⅲ)已知齊次線性方程組 , (1)方程組僅有零解。 (2),求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的齊次線性方程組解的討論。行列式的計(jì)算. 解 特殊情形. (1)當(dāng),即且時(shí),方程組僅有零解。 (2)當(dāng)時(shí),則方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 (3)當(dāng)時(shí),且,則方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 【注意】此題也可用一般情形的方法一求解. 114.(2003—Ⅲ)設(shè)二次型 ,其中二次型的矩陣的特征值之和為1,特征值之積為. (1)求的值。 (2)利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣. 【考點(diǎn)】二次型的矩陣。矩陣的特征值的性質(zhì)。利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程. 解 二次型的矩陣. (1)由. (2),則的特征值. 的屬于的兩兩正交且單位化的特征向量。 的屬于的兩兩正交且單位化的特征向量. 令正交矩陣,得正交變換,且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. 115.(2003—Ⅳ)設(shè)有向量組 (Ⅰ):和向量組 (Ⅱ):.試問(wèn):當(dāng)為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)?當(dāng)為何值時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià)? 【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)向量組等價(jià)的判別定理. 解 向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)。當(dāng)時(shí),向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價(jià). 【注意】向量組與向量組等價(jià) . 116.(2003—Ⅳ)設(shè)矩陣可逆,向量是矩陣的一個(gè)特征向量,是對(duì)應(yīng)的特征值,. 【考點(diǎn)】特征值與特征向量的概念。特征值的性質(zhì). 解 由或,。當(dāng)時(shí),. 【注意】,只是中的某一個(gè). 117.(2004—Ⅰ)設(shè)有齊次線性方程組 試問(wèn)取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的齊次線性方程組解的討論. 解 用特殊情形的方法二. .當(dāng),即或時(shí),方程組有非零解. 當(dāng)時(shí),得方程組的通解 其中為任意常數(shù). 當(dāng)時(shí),得方程組的通解為任意常數(shù). 【注意】此題也可用一般情形的方法一求解,讀者自己試試. 118.(2004—Ⅰ,Ⅱ)設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化. 【考點(diǎn)】特征值的計(jì)算。矩陣能對(duì)角化的條件. 解 . (1)若為的二重特征值,則,則能對(duì)角化. (2)若不是的二重特征值,則,則不能對(duì)角化. 119.(2004—Ⅱ)設(shè)有齊次線性方程組 試問(wèn)取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解. 參考117.(2004—Ⅰ).答案: (1)時(shí),方程組有非零解,通解為,其中為任意常數(shù). (2)時(shí),方程組有非零解,通解為為任意常數(shù). 120.(2004—Ⅲ)設(shè),.試討論當(dāng)為何值時(shí), (1)不能由線性表示。 (2)可由惟一地線性表示,并求出表示式。 (3)可由線性表示,但表示式不惟一,并求出表示式. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的向量可由向量組線性表示的討論. 解 一般情形. (1)當(dāng)且時(shí),可由惟一地線性表示,此時(shí) 則. (2)當(dāng)時(shí),不能由線性表示. (3)當(dāng)時(shí),可由線性表示,但表示式不惟一,且為任意常數(shù). 【注意】此題也可用特殊情形的方法一求解,讀者自己試試. 121.(2004—Ⅲ)設(shè)階矩陣 (1)求的特征值與特征向量。 (2)求可逆矩陣,使為對(duì)角矩陣. 【考點(diǎn)】特征值與特征向量的計(jì)算。矩陣的對(duì)角化過(guò)程. 解 ,則的特征值 . (1)當(dāng)時(shí),.的特征值,任意非零向量都是的特征向量。對(duì)任意可逆矩陣,都有. (2)當(dāng)時(shí),的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,而全部特征向量為不為零的常數(shù)。 的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量 而全部特征向量, . 122.(2004—Ⅳ)設(shè)線性方程組 (1)方程組的全部解,并用對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解。 (2)該方程組滿足的全部解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的方程組解的討論。附加條件的方程組的求解. 解 (1)將代入方程組,得. ①當(dāng)時(shí),方程組的通解 為任意常數(shù). ②當(dāng)時(shí), ,方程組的通解 為任意常數(shù). (2)當(dāng)時(shí),由,則所求通解 為任意常數(shù). 當(dāng)時(shí),由,則所求解. 【注意】如果原方程組附加了條件,這時(shí)只要由附加條件確定在通解中任意常數(shù)滿足的條件,代入原方程組的通解中,從而得到新方程組的解。,則計(jì)算量大大增加. 123.(2004—Ⅳ)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為2,. (1)求的另一特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。 (2)求矩陣. 【考點(diǎn)】已知矩陣的特征值和線性無(wú)關(guān)的特征向量,求矩陣. 解 (1)由題意,則,解得是不為零的常數(shù). (2),則,所以 . 【注意】此類問(wèn)題的解決方法一般都是先求出的全部特征值和全部線性無(wú)關(guān)的特征向量,再根據(jù)矩陣與對(duì)角矩陣相似,從而求得.編者的話 尊敬的各位讀者,我經(jīng)過(guò)了一年多的時(shí)間,缺點(diǎn)和錯(cuò)誤在所難免,特別是在前后解題的聯(lián)系上有所欠缺,! 宗云南 2006年5月于杭州 105